Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

причем величина s называется стандартным отклонением.

В нашем случае s = Ц N или ЦN S c - k , если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы.

Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких-то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с духами или каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие-то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обна­ружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате.

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стен­ку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятно­стное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходя­щее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что дан­ная молекула движется с какой-то скоростью между v и v+Dv, будет равна p(v) D v, где р(v) — плотность вероятности, которая зависит от скорости v. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(v). Примерный вид функции p(v) показан на фиг. 6.9.

䚠ᢜ

Фиг. 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.

Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов за то, что она окажется где-то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения

.

О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1 л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N » 10 22). Поскольку р(v) Dv — вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале Dv, то, по определе­нию, ожидаемое число молекул со скоростью, находя­щейся в этом же интервале, будет равно

< DN>=Np(v) Dv . (6.21)

Поэтому Np (v) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями ско­ростей v l и v 2[заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Np(v)] представляет ожидаемое число молекул со скоростями между v 1и v 2 . Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1/ЦN), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между v 1 и v 2 равно площади заштрихованного участка».Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.

§ 5. Принцип неопределенности

Понятия вероятности оказались очень полезны при описа­нии поведения газа, состоящего из огромного количества мо­лекул. Немыслимо же в самом деле пытаться определить по­ложение и скорость каждой из 10 22молекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероят­ность существенно необходима для описания различных атомных процессов. Согласно квантовой механике, этой математической теории малых частичек, при определении положения частички и ее скорости всегда существует некоторая неопределенность. В лучшем случае мы можем только сказать, что существует ка­кая-то вероятность того, что частица находится вблизи точки х.

Для описания местоположения частицы можно ввести плот­ность вероятности р 1 (х), так что p 1(x) Dx будет вероятностью того, что частица находится где-то между х и х +Dx. Если положение частицы установлено достаточно хорошо, то пример­ный вид функции P 1 (x) может иллюстрировать график, при­веденный на фиг. 6.10, а.

Фиг. 6.10. Плотности вероят­ности координаты, (а) и скорости (6) частицы.

Точно такое же положение и со ско­ростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью р 2(v) Dvчастица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале между v и v +Dv.

Один из основных результа­тов квантовой механики состоит в том, что эти две плотности р 1 (х) и р 2 (v) не могут быть выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полуширины» кривых p 1 (х) и p 2 (v) и обозначим их соответственно [Dx] и [Dv] (см. фиг. 6.10), то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширив было не меньше величины h/m, где m — масса частицы, a h — некоторая фундаментальная физическая постоянная, называ­емая постоянной Планка. Это соотношение записывается сле­дующим образом:

[Dx][Dv]>=h/m (6.22)

и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Чтобы это соотношение выполнялось, частица должна себя вести очень курьезно. Вы видите, что правая часть соотноше­ния (6.22) постоянна, а это означает, что если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком-то определенном месте, то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и с какой скоростью. Точно также если мы попытаемся заставить частицу двигаться очень медленно или с какой-то определенной скоростью, то она будет «расплываться», и мы не сможем точно указать, где она находится.

Принцип неопределенности выражает ту неясность, которая должна существовать при любой попытке описания природы. Наиболее точное и полное описание природы должно быть только вероятностным. Однако некоторым физикам такой спо­соб описания приходится не по душе. Им кажется, что о реаль­ном поведении частицы можно говорить только, когда од­новременно заданы импульсы и координаты. В свое время на заре развития квантовой механики эта проблема очень сильно волновала Эйнштейна. Он часто качал головой и говорил: «Но ведь не гадает же господь бог «орел — решка», чтобы решить, куда должен двигаться электрон!» Этот вопрос беспо­коил его в течение очень долгого времени, и до конца своих дней он, по-видимому, так и не смог примириться с тем фактом, что вероятностное описание природы — это максимум того, на что мы пока способны. Есть физики, которые интуитивно чувст­вуют, что наш мир можно описать как-то по-другому, что можно исключить эти неопределенности в поведении частиц. Они продолжают работать над этой проблемой, но до сих пор ни один из них не добился сколько-нибудь существенного результата.