Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I

§ 1. Состояния моле­кулы аммиака

§ 2. Молекула в стати­ческом электриче­ском поле

§ З. Переходы в поле, зависящем от вре­мени

§ 4. Переходы при резонансе

§ 5. Переходы вне резонанса

§ 6. Поглощение света

§ 1. Состояния молекулы аммиака

В этой главе мы хотим обсудить применение квантовой механики в одном практическом устройстве — в аммиачном мазере. Вас может удивить, отчего это мы бросаем на полпути наше изложение формального аппарата кван­товой механики и обращаемся к частной задаче. Но позже вы увидите, что многие черты этой частной задачи сплошь и рядом встречаются и в общей теории квантовой механики, так что детальное изучение задачи многому нас научит. Аммиачный мазер — это устройство для генерирования электромагнитных волн. Его действие основано на свойствах молекулы аммиака, о которых вкратце говорилось в предыдущей главе. Поэтому сначала мы под­ведем итоги тому, что нам уже известно.

Молекула аммиака имеет много состояний. Но мы будем считать ее системой с двумя состоя­ниями (двухуровневой); сейчас нас интересует лишь то, что бывает, когда молекула находится в любом заданном состоянии вращения или посту­пательного движения. Физическую модель этих двух состояний можно наглядно представить себе следующим образом. Если вращать моле­кулу аммиака вокруг оси, проведенной через атом азота перпендикулярно плоскости атомов водорода, как показано на фиг. 7.1, мы обна­ружим, что существуют два сорта состояний, которые не переходят друг в друга при таких поворотах и отличаются положением атома азота.

Фиг. 7.1. Физическая модель двух базисных состояний молекулы аммиака. Электрические дипольные моменты этих состояний рав­ны m.

Азот может быть либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую. Эти два состояния мы обозначаем |1> и |2>. Их мы выберем в качестве совокупности ба­зисных состояний в нашем анализе поведения молекулы аммиака.

В системе с двумя базисными состояниями любое состоя­ние |y> системы всегда может быть описано линейной комби­нацией двух базисных состояний; это значит, что существует определенная амплитуда С 1быть в одном базисном состоянии и амплитуда С 2быть в другом. Вектор состояния |y>можно записать в виде

где

Эта пара амплитуд меняется со временем согласно нашим гамильтоновым уравнениям — уравнениям (6.43). Используя симметрию двух состояний молекулы аммиака, мы полагаем H 11 =H 22 =E 0и H 12= H 21=- А и получаем такое решение [см. (6.50) и (6.51)]:

Кинем теперь на эти решения более внимательный взгляд. Пусть сперва молекула была поставлена в состояние |y 11>, для которого коэффициент b был равен нулю. Тогда при t =0 амплитуды оказаться в состояниях |1> и |2> одинаковы и останутся такими все время. Их фазы обе меняются во времени одинаково, с частотой ( E 0- A)/h. И точно так же, если бы мы поставили молекулу в состояние |y 1> , для которого а=0, амплитуда C 2равнялась бы C 1с минусом, и это соотношение сохранилось бы навсегда — обе амплитуды менялись бы теперь во времени с частотой (E 0 +A)/h. Это все состояния, для кото­рых связь между С 1и С 2не зависит от времени; других возмож­ностей нет.

Мы нашли два частных решения, в которых амплитуды не меняются по величине и, более того, фазы меняются с одина­ковой частотой. Это стационарные состояния по определению, данному в гл. 5, § 1, т. е. состояния с определенной энергией. Состояние |y 11> обладает энергией Е 11= Е 0- А, а состояние |y 1> — энергией E 1 =E 0 +A. Кроме этих, никаких стационар­ных состояний не существует, т. е. мы обнаруживаем, что у мо­лекулы есть два уровня энергии, отличающиеся на 2А. (Под­разумеваются, конечно, два уровня энергии для заданного со­стояния колебания и вращения, о которых говорилось в наших исходных допущениях.)

Если бы азот не мог перескакивать вверх или вниз, нам пришлось бы принять А равным нулю, и оба энергетических уровня (с энергией Е 0)налезли бы один на другой. Истинные уровни не таковы; их среднее значение Е 0 , но они разведены на ±А, т. е. промежуток между энергиями двух состояний равен 2А. Поскольку А на самом деле мало, то и разница в энергиях очень мала.

Чтобы возбудить электрон внутри атома, требуются до­вольно высокие энергии, нужны фотоны оптического или уль­трафиолетового диапазона. Чтобы возбудить вибрации молекул, требуются инфракрасные фотоны. Если речь идет о возбужде­нии вращений, различия в энергиях состояний соответствуют фотонам в далекой инфракрасной области. Но разность энер­гий 2А меньше их всех, меньше инфракрасных энергий, она приходится на микроволновой диапазон. Опытным путем было найдено, что существует пара уровней энергии с промежутком 10 -4 эв, что отвечает частоте 24000 Мгц. Это, очевидно, озна­чает, что 2A=hf, где f =24000 Мгц (отвечает волне длиной 1 1/ 4 см). Значит, перед нами молекула с переходами, которые вызывают испускание микроволн, а не свет в обычном смысле.

Для дальнейшей работы нам понадобится немного более удобное описание этих двух состояний с определенной энер­гией. Представим, что мы построили амплитуду С 11из суммы двух чисел C 1и С 2:

Что бы это могло означать? Очень просто: это амплитуда того, что состояние |Ф> окажется в новом состоянии |//>, в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой, Иначе говоря, когда мы пишем С II = < II |Ф>, то мы впра­ве абстрагироваться в уравнении (7.4) от |Ф>, поскольку оно вы­полняется при любых Ф, и писать

это означает то же самое, что и