Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I

У такой системы однородных алгебраических уравнений не­нулевые решения для а 1и а 2будут лишь тогда, когда опре­делитель, составленный из коэффициентов при а 1и а 2, равен нулю, т. е. если

Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a 1и а 2, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем

а из (7.21)

Приравнивая эти отношения, получаем, что Е должно удовле­творять равенству

(E-H 11 )(E-H 22 )-H 12 H 21 = 0 .

То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:

Энергия E может иметь два значения. Заметьте, что оба они вещественны, потому что Н 11и H 22вещественны, а Н 12 Н 21 , равное Н 12 H 12=| H 12| 2, тоже вещественно, да к тому же положительно.

Пользуясь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию E I , а меньшую Е II . Имеем

Подставив каждую из этих энергий по отдельности в (7.18) и (7.19), получим амплитуды для двух стационарных состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внеш­них возмущений, то система, первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у нее только фаза будет меняться.

Наши результаты можно проверить на двух частных слу­чаях. Если H 12= H 21=0, то получается E I = H 11и E II = H 22. А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояние с энер­гией H 11и H 22. Далее, положив H 11= H 22= E 0и H 21= H 12=- А, придем к найденному выше решению:

е I =е 0 +а и е II =е 0 -а.

В общем случае два решения Е I и Е II относятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями

У этих состояний С 1и С 2будут даваться уравнениями (7.18) и (7.19), где а 1и а 2еще подлежат определению. Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Они должны также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что си­стема находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в |1 >или | 2 >, должна равняться единице. Следовательно,

или, что то же самое,

Эти условия не определяют а 1и а 2однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е. в множителе типа е i d . Хотя для а можно выписать общие решения, но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае.

Вернемся теперь к нашему частному примеру молекулы аммиака в электрическом поле. Пользуясь значениями Н 11 , H 22и Н 12из (7.14) и (7.15), мы получим для энергий двух ста­ционарных состояний выражения

Эти две энергии как функции напряженности x электрического поля изображены на фиг. 7.2.

Фиг. 7,2. Уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле.

Кривые построены по формулам (7.30):

Когда электрическое поле нуль, то энергии, естественно, обращаются в Е 0 ±А. При наложении электрического поля расщепление уровней растет. Сперва при малых x оно растет медленно, но затем может стать пропор­циональным $. (Эта линия — гипербола.) В сверхсильных полях энергии попросту равны

Тот факт, что у азота существует амплитуда переброса вверх — вниз, малосуществен, когда энергии в этих двух поло­жениях сильно отличаются. Это интересный момент, к которо­му мы позже еще вернемся.

Теперь мы наконец готовы понять действие аммиачного мазера. Идея в следующем. Во-первых, мы находим способ отделения молекул в состоянии | I > от молекул в состоянии | II >. Затем молекулы в высшем энергетическом состоянии | I > пропускаются через полость, у которой резонансная частота равна 24000 Мгц. Молекулы могут оставить свою энергию полости (способ будет изложен позже) и покинуть полость в состоянии | II >. Каждая молекула, совершившая такой пере­ход, передаст полости энергию E=E I -Е II . Энергия, отобран­ная у молекул, проявится в виде электрической энергии поло­сти.

Как же разделить два молекулярных состояния? Один способ такой. Аммиачный газ выпускается тонкой струйкой и проходит через пару щелей, создающих узкий пучок (фиг. 7.3).

Фиг. 7.3. Пучок молекул аммиака может быть раз­делен электрическим полем, в котором x 2 обладает гра­диентом, перпендикуляр­ным пучку.

Затем пучок пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле. Создающие поле элект­роды изогнуты так, чтобы электрическое поле поперек пучка резко менялось. Тогда квадрат x·x электрического поля будет иметь большой градиент, перпендикулярный пучку. А у мо­лекулы в состоянии |/> энергия с x 2растет, значит, эта часть пучка отклонится в область меньших x 2. Молекула же в со­стоянии | II >, наоборот, отклонится к области, где x 2побольше, потому что ее энергия падает, когда x 2растет.