Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I

Амплитуда того, что состояние (II} окажется в состоянии |1>, равна

а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2>суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |II> в состоянии \2у тоже равна единице, так что у состояния |II> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний |1> и |2> .

Но тут всплывает новая трудность. У состояния | II > пол­ная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть < II | II >=1. Использовав общее соотношение

полагая, что и Ф, и c суть состояние II , и суммируя по ба­зисным состояниям |1> и |2> , получаем

Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше оп­ределение С II [см. уравнение (7.4)] и примем

Таким же путем можно построить и амплитуду

или

Эта амплитуда есть проекция состояния |Ф> на новое состоя­ние | I >, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях |1> и |2> . А именно (7.6) означает то же самое, что и

или

откуда следует

Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |I> и |II> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подхо­дящую для описания стационарных состояний молекулы ам­миака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:

Мы уже сами сделали так, чтобы было

Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и

Амплитуды С I =< I |Ф> и С II =< II |Ф> того, что любое состояние |Ф> окажется в одном из наших новых базисных со­стояний | I > и | II >, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продиф­ференцируем по t, то убедимся, что

А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим

Если за базисные состояния взять | I > и | II >, то гамильтонова матрица очень проста:

Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения си­стемы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии.

С ростом времени амплитуды пребывания в каждом из состоя­ний ведут себя независимо.

Найденные нами раньше стационарные состояния |y I> и |y II> тоже являются, конечно, решениями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния |y I> (для которого С 1 =-С 2 )

А у состояния |y II> (для которого С 1= С 2)

Пусть мы теперь умножили (7.10) на вектор состояния |/>; тогда получится

Вспомним, однако, что |I>

Иначе говоря, вектор состояния стационарного состояния |y I> не отличается от вектора состояния базисного состояния | I > ничем, кроме экспоненциального множителя, связанного с энергией состояния. И действительно, при t=0

|y I>=| I >;

физическая конфигурация у состояния )/> та же самая, что и у стационарного состояния с энергией Е 0 +А. Точно так же для второго стационарного состояния получается

Состояние | II >— это просто стационарное состояние с энер­гией Е 0 -А при t= 0 . Стало быть, оба наших новых базисных состояния | I > и | II > физически имеют вид состояний с опреде­ленной энергией, но с изъятым экспоненциальным временным множителем, так что они могут быть приняты за базисные со­стояния, не зависящие от времени. (В дальнейшем нам будет удобно не отличать стационарные состояния |y I> и |y II> от их базисных состояний | I > и | II >, ведь различаются они только очевидными временными множителями.)

Подведем итог. Векторы состояний | I > и | II > — это пара базисных векторов, приспособленных для описания состояний молекулы аммиака с определенной энергией. Они связаны с нашими исходными базисными векторами формулами

Амплитуды пребывания в | I > и | II > связаны с С 1и С 2форму­лами