Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение

И наконец, для плоскости z'x'

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно за­помнить это правило? Если внимательно посмотреть на урав­нения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать t ху z-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора t, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора t, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с x -ком понентой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компо нентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF y -yF x можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе круче­ния. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Соглас­но правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Од­нако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределен­ный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кру­чением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трех­мерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) допол­нительно к трем плоскостям xy, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного век­тора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих мате­матических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину axb y -a y b x , где аи b— векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины c z , то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора сс векторами аи bпридумать какое-то матема­тическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначе­нием: c= aX b. Таким образом, в дополнение к обычному ска­лярному произведению в векторном анализе мы получили про­изведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c= aX bэто то же самое, что

c x =a y b z - а г b у ,

c y =a z b x -a x b z , (20,9)

с г =а х b у -а у b х .

Если переменить порядок векторов аи b, т. е. вместо aX bвзять bX a, то знак вектора спри этом изменится, ибо c z равно b х а у -b у а х . Векторное произведение поэтому не похоже на обыч­ное умножение, для которого аb=bа. Для векторного произ­ведения bX a=- aX b. Отсюда немедленно следует, что если а= b, то векторное произведение равно нулю, т. е. аX а=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, bи с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить сле­дующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор спер­пендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить сX аи вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведе­нию абсолютных величин векторов bи а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор адо вектора bв направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении век­тора с. То, что мы берем право винтовой болт, а не лево винтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов аи bвектор нового типа аX bпо своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов аи b, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Еи т. д. Все это обычные полярные век­торы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, мо­гут служить момент силы tи момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость w, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.