Александр Харчевников - Социальный метаболизм. Полилогический матричный анализ «обменных процессов» и стоимости

(x 113+ x 213+ x 313 ) / (x 123+ x 223+ x 323 ) = 2/3, или иначе

3 × (x 113+ x 213+ x 313 )= 2 × (x 123+ x 223+ x 323 ); (26) *

(x 113+ x 213+ x 313 ) / (x 133+ x 233+ x 333 ) = 2/4, или иначе

2 × (x 113+ x 213+ x 313 )= 4 × (x 133+ x 233+ x 333 ); (27) *

(x 123+ x 223+ x 323 ) / (x 133+ x 233+ x 333 ) = 3/4, или иначе

4 × (x 123+ x 223+ x 323 )= 3 × (x 133+ x 233+ x 333 ). (28) *

Наконец, по условиям задачи, имеем одинаковые объёмы потребления каждым i-ым агентом и по каждому j-ому продукту:

(x 111+ x 211+ x 311 ) = (x 112+ x 212+ x 312 ) = (x 113+ x 213+ x 313 ), (29)

(x 121+ x 221+ x 321 ) = (x 122+ x 222+ x 322 ) = (x 123+ x 223+ x 323 ), (30)

(x 131+ x 231+ x 331 ) = (x 132+ x 232+ x 332 ) = (x 133+ x 233+ x 333 ). (31)

Эти три тройных равенства позволяют получить ещё девять линейных уравнения:

– из первого тройного равенства (29) получим по продукту j = 1 следующие три линейных уравнения:

(x 111+ x 211+ x 311 ) = (x 112+ x 212+ x 312 ), (32) *

(x 111+ x 211+ x 311 ) = (x 113+ x 213+ x 313 ), (33) *

(x 112+ x 212+ x 312 ) = (x 113+ x 213+ x 313 ); (34) *

– из второго тройного равенства (30) получим по продукту j = 2 следующие три линейных уравнения:

(x 121+ x 221+ x 321 ) = (x 122+ x 222+ x 322 ), (35) *

(x 121+ x 221+ x 321 ) = (x 123+ x 223+ x 323 ), (36) *

(x 122+ x 222+ x 322 ) = (x 123+ x 223+ x 323 ); (37) *

– из третьего тройного равенства (31) получим по продукту j = 3 следующие три линейных уравнения:

(x 131+ x 231+ x 331 ) = (x 132+ x 232+ x 332 ), (38) *

(x 131+ x 231+ x 331 ) = (x 133+ x 233+ x 333 ), (39) *

(x 132+ x 232+ x 332 ) = (x 133+ x 233+ x 333 ). (40) *

Известно, что для решения этой системы (линейных) уравнений в задаче с 27 неизвестными переменными необходимо 27 линейных уравнений. Напомним, что решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных (и определитель ее основной матрицы не равен нулю), то такие системы называются элементарными и имеют одно единственное решение.

Выпишем из уравнений (4) – (40) систему линейных уравнений, порядковые номера которых отмечены звёздочкой – (…) *. Общее число этих уравнений равно 27 (верхний индекс рядом со звёздочкой есть порядковый номер этого линейного уравнения в линейной системе уравнений данной задачи):

f 11= x 111+ x 112+ x 113= 6000, (4) * 1

f 21= x 211+ x 212+ x 213= 0, (5) * 2

f 31= x 311+ x 312+ x 313= 0, (6) * 3

f 12= x 121+ x 122+ x 123= 9000, (7) * 4

f 22= x 221+ x 222+ x 223= 0, (8) * 5

f 32= x 321+ x 322+ x 323= 0, (9) * 6

f 13= x 131+ x 132+ x 133= 12000, (10) * 7

f 23= x 231+ x 232+ x 233= 0, (11) * 8

f 33= x 331+ x 332+ x 333= 0, (12) * 9

3× (x 111+ x 211+ x 311 )= 2× (x 121+ x 221+ x 321 ), (16) * 10

2 × (x 111+ x 211+ x 311 )= 4 × (x 131+ x 231+ x 331 ), (17) * 11

4 × (x 121+ x 221+ x 321 )= 3 × (x 131+ x 231+ x 331 ), (18) * 12

3 × (x 112+ x 212+ x 312 )= 2 × (x 122+ x 222+ x 322 ), (21) * 13

2 × (x 112+ x 212+ x 312 )= 4 × (x 132+ x 232+ x 332 ), (22) * 14

4 × (x 122+ x 222+ x 322 )= 3 × (x 132+ x 232+ x 332 ), (23) * 15

3 × (x 113+ x 213+ x 313 )= 2 × (x 123+ x 223+ x 323 ), (26) * 16

2 × (x 113+ x 213+ x 313 )= 4 × (x 133+ x 233+ x 333 ), (27) * 17

4 × (x 123+ x 223+ x 323 )= 3 × (x 133+ x 233+ x 333 ), (28) * 18

(x 111+ x 211+ x 311 ) = (x 112+ x 212+ x 312 ), (32) * 19

(x 111+ x 211+ x 311 ) = (x 113+ x 213+ x 313 ), (33) * 20

(x 112+ x 212+ x 312 ) = (x 113+ x 213+ x 313 ), (34) * 21

(x 121+ x 221+ x 321 ) = (x 122+ x 222+ x 322 ), (35) * 22

(x 121+ x 221+ x 321 ) = (x 123+ x 223+ x 323 ), (36) * 23

(x 122+ x 222+ x 322 ) = (x 123+ x 223+ x 323 ), (37) * 24

(x 131+ x 231+ x 331 ) = (x 132+ x 232+ x 332 ), (38) * 25

(x 131+ x 231+ x 331 ) = (x 133+ x 233+ x 333 ), (39) * 26

(x 132+ x 232+ x 332 ) = (x 133+ x 233+ x 333 ). (40) * 27

Аналитическое решение этой линейной системы уравнений позволяет получить следующие значения неизвестных переменных x ijk:

x 111= 2000, x 112= 2000, x 113= 2000,

x 211= 0, x 212= 0, x 213= 0, x 311= 0, x 312= 0, x 313= 0;

x 221= 3000, x 222= 3000, x 223= 3000,

x 121= 0, x 122= 0, x 123= 0, x 321= 0, x 322= 0, x 323= 0;

x 331= 4000, x 332= 4000, x 333= 4000,

x 131= 0, x 132= 0, x 133= 0, x 231= 0, x 232= 0, x 233= 0.

Следует при этом заметить, в отношении самой процедуры решения, что конкретные условия данной задачи позволяют значительно сократить число уравнений в системе и упростить его. Это сокращение по существу и было сделано в начале изложения упрощённого табличного решения с «заменой индексов».