Джо Боулер - Математическое мышление

Сколько ячеек было бы на шаге 100?

Сколько ячеек было бы на шаге n ?

Когда ученикам предлагают задать вопрос посложнее, они часто загораются этой идеей: их увлекает возможность использовать свое мышление и творческий подход. Учителя могут без труда использовать такое расширение на любом уроке. Попробуйте дать ученикам следующее задание в контексте любой совокупности математических вопросов.

А теперь вы напишете вопрос; постарайтесь, чтобы он был трудным.:)

Рис. 5.19.Расширенная задача Алонсо

Ученики могут задавать вопросы одноклассникам — очень вдохновляющий подход. Эта стратегия особенно уместна для учеников, которые работают быстрее других и жалуются, что для них эта работа слишком легкая: ведь такой подход требует глубоких и напряженных размышлений.

6. Можете ли вы включить в задачу условие о необходимости убеждать и рассуждать?

Построение логических рассуждений — основа математики. Когда ученики приводят свои аргументы и критикуют рассуждения других, они ведут себя как истинные математики и готовятся к миру высоких технологий, в котором им предстоит работать, а также к сдаче тестов. Кроме того, логические рассуждения дают путь к пониманию материала. В ходе четырехлетнего исследования, охватившего разные школы, мы обнаружили, что логические рассуждения играют особенно важную роль в обеспечении равенства, помогая сократить разрыв между учениками, которые понимают математику, и теми, кому она дается с трудом. Во время каждой дискуссии ученикам предлагали рассуждать логически, объясняя, почему они выбрали те или иные методы и почему их применение имеет смысл. Тем, кто не понял соответствующую тему, это позволяло разобраться в ней и задать вопросы, что еще больше углубляло знания ученика, который объяснил свой выбор метода.

Мне нравится дополнять любимые задачи на стимулирование логических рассуждений педагогической стратегией, у которой есть ряд преимуществ. Я узнала о ней от Кэти Хамфриз, которая предлагает своим ученикам быть скептиками. Она утверждает, что существует три уровня убеждения (Boaler & Humphreys, 2005).

• Убедить себя.

• Убедить друга.

• Убедить скептика.

Убедить себя или друга легко, но, чтобы убедить скептика, понадобятся рассуждения очень высокого уровня. Кэти говорит ученикам, что они должны быть скептиками, побуждая других всегда формулировать исчерпывающие и убедительные аргументы.

Марк Дрисколл разработал идеальную задачу для обучения и стимулирования рассуждений более высокого уровня, в которую можно включить роль скептика. Она называется «Складывание бумаги». Я использовала эту задачу в самых разных группах, и все они работали над ней очень увлеченно. Учителя говорят мне, что им нравится эта задача: часто она дает возможность проявить себя тем, кто раньше не мог этого сделать. Ученики работают парами с квадратным листом бумаги. Им предлагают складывать ее так, чтобы получить новые фигуры. В примере 5.11 показаны пять заданий с растущим уровнем сложности.

Работайте с партнером. По очереди берите на себя роль скептика или убеждающего. Когда вы выступаете в качестве убеждающего, ваша задача — убеждать! Приводите аргументы. Скептики должны относиться ко всему скептически! Не давайте легко убедить себя. Требуйте аргументов и обоснований, имеющих для вас смысл.

В каждом из представленных ниже заданий один участник должен сложить фигуру, а затем убедить другого. Ваш партнер играет роль скептика. Когда вы перейдете к следующему заданию, поменяйтесь ролями.

Начните с квадратного листа и сделайте на нем сгибы так, чтобы построить новую фигуру. Затем объясните, почему вы считаете, что созданная вами фигура имеет искомую площадь.

1. Постройте квадрат, площадь которого равна 1/ 4площади исходного. Убедите своего партнера в том, что это квадрат и его площадь составляет 1/ 4исходной.

2. Постройте треугольник, площадь которого равна 1/ 4площади исходного квадрата. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет 1/ 4исходной.

3. Постройте еще один треугольник, площадь которого также равна 1/ 4площади исходного квадрата и который не конгруэнтен треугольнику, построенному в предыдущей задаче. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет 1/ 4исходной.

4. Постройте квадрат, площадь которого равна 1/ 2площади исходного. Убедите партнера в том, что это квадрат и его площадь составляет 1/ 2исходной.

5. Постройте еще один квадрат, площадь которого также равна 1/ 2площади исходного, но который ориентирован иначе, чем квадрат, построенный в задаче 4. Убедите партнера в том, что площадь этого квадрата составляет 1/ 2исходной.

Источник: Driscoll, 2007, p. 90, http://heinemann.com/products/E01148.aspx.

Когда я поставила эту задачу учителям, они долго трудились над заданием 5, причем некоторые из них работали до самого вечера после целого дня занятий по профессиональному развитию, наслаждаясь каждым моментом. Такую вовлеченность усиливает наличие физической фигуры, с которой можно работать и которую можно менять, а также необходимость убеждать партнера. Ставя перед учениками и учителями эту задачу, я предлагаю парам партнеров по очереди брать на себя разные роли: один складывает лист бумаги и убеждает другого, а другой становится скептиком, а в следующем задании они меняются ролями. Предлагая ученикам играть роль скептиков, я объясняю, что они должны требовать от партнеров, чтобы те убедили их в своей правоте. Ученикам нравится требовать друг от друга убедительных аргументов. Это помогает им освоить метод математических рассуждений и доказательств. Возможно, вам как учителю нужно будет продемонстрировать ученикам, что такое убедительный ответ, задавая дополнительные вопросы, если их аргументы недостаточно убедительны.

Еще один пример задачи, требующей убеждения, представлен в примере 5.12. Условие о необходимости рассуждать и убеждать можно включить в любую математическую задачу.

Конус и цилиндр имеют одинаковые высоту и радиус. Чему равно соотношение их объемов? Сделайте предположение и попытайтесь убедить других учеников в его истинности. Чтобы вышло убедительно, используйте рисунки, модели и цветовое кодирование.

Когда математические задачи открыты для разных способов восприятия, методов решения и вариантов представления, все меняется.