Игорь Шарыгин - Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

— А потому, что 30 делится и на 15, и на 10. А 20 делится только на 10, но не на 15. А 45 — наоборот, только на 15, но не на 10.

— Молодец! Назовем этот прием методом «общего кратного». Ведь 30 делится на 15 и 10, то есть является для них общим кратным. Мы могли бы взять вместо 30 и другое общее кратное: 60, 90 и так далее. Но 30 самое удобное. Оно наименьшее. Его так и называют: наименьшее общее кратное чисел 15 и 10. Теперь реши самостоятельно такую старинную задачу.

18. Имеется охапка сена. Лошадь может съесть ее за 2 дня, корова — за 3, а коза — за 6 дней. За сколько дней лошадь, корова и коза вместе съедят эту охапку сена?

Федя с этой задачей справился, хотя и не очень быстро. (А ты?)

— Метод «общего кратного» может быть использован и в других задачах. Вот простой пример.

19. Две черепахи ползут наперегонки. Первая проползает 4 метра за каждые 9 часов, а вторая 5 метров за каждые 11 часов. Какая черепаха ползет быстрее?

Задачу можно решать по-разному. Первый способ: найдем кратное чисел 4 и 5. То есть найдем какое-нибудь число, которое делится и на 4, и на 5. Лучше наименьшее.

— 20!

— Верно! Теперь посмотрим, за какое время каждая из черепах проползет 20 метров. Первая проползет 20 метров за 5 • 9 = 45 часов, а вторая — за 4 • 11 = 44 часа. Какая из черепах ползет быстрее?

— Вторая!

— Верно! Теперь другое решение: найдем наименьшее общее кратное чисел 9 и 11.

— 99!

— Правильно! А давай найдем, сколько метров проползет каждая из черепах за 99 часов. Думаю, ты легко сам доведешь решение до конца.

Прогулка в магазин оказалась долгой, но нескучной. Каждый встречный, ребенок или взрослый, почтительно приветствовал дедушку, интересовался здоровьем, спрашивал совета. И дедушка часто останавливался и подолгу беседовал. А Федя был очень горд: какой уважаемый человек его родной дедушка! И он решил, что когда вырастет, то непременно станет учителем и уедет в деревню.

В магазине была небольшая очередь. Покупатели предложили дедушке подойти без очереди, но он отказался и даже немного обиделся. Встав в конец очереди, дедушка с любопытством стал наблюдать за тем, как идет торговля. Через некоторое время он не выдержал:

— Неужели, чтобы узнать, сколько стоят вместе батон белого хлеба за 4 рубля 60 копеек и буханка черного за 3 рубля 80 копеек, надо пользоваться калькулятором? Ну а ты, Петрова, не можешь сама подсчитать, сколько стоят 250 граммов ирисок, если 1 килограмм стоит 40 рублей? Ты позоришь своего учителя. Раньше один мой друг шутил: «Не математики считают, что математики считают». Он имел в виду, что конечно же математики умеют считать, но не только. Главное же, что математики умеют думать. Сегодня все считают, что считают не математики и вообще — не люди, а калькуляторы. Что такое умножение? А это действие, состоящее в нажатии пальцем кнопки на калькуляторе, на которой нарисован косой крестик.

Сделав покупки, дедушка и внук двинулись в обратную сторону. Дедушка еще долго не мог успокоиться.

— Люди совсем разучились самостоятельно считать. Все переложили на калькуляторы и компьютеры. Даже 10 на 10 перемножают на калькуляторе. Ты, Федор, не обижайся, но мне придется дать тебе специальные задачи по арифметике, примеры, как вы говорите.

По дороге Федор вспомнил свой сон и обратился к дедушке:

— Эту задачу про 7 яблок и 12 мальчиков я решил. Помогла твоя подсказка. 3 • 4 = 12. Сначала 3 яблока делим между 12 мальчиками. Для этого надо каждое яблоко разрезать на 4 части. Потом 4 яблока делим между этими же мальчиками. Для этого каждое яблоко режем на 3 равные части. Вот и все! Но ведь яблоки же все разные! И, значит, мы разделили не поровну и не по справедливости.

— Тут ты попал в самую точку. Решая подобные задачи, мы подразумеваем «математические» яблоки. Считаем их все совершенно одинаковыми. В жизни так не бывает. Да и точно разделить яблоко на равные части мы не умеем.

Как делить: поровну или по справедливости? И что значит разделить по справедливости? Помнишь, как Карлсон делил с Малышом плюшки или варенье. Он делил явно не поровну, хотя и говорил: «Делим поровну!» Но Малыш не обижался. Поэтому можно считать, что Карлсон делил по справедливости. Малыш очень любил Карлсона, а Карлсон любил Малыша и сладости. А Малыш к сладкому был равнодушен. Значит, все было по справедливости.

А вот представь себе, что два человека купили на двоих один пирог. Они одинаково голодны и хотят разделить пирог поровну. Как это сделать? Если будет делить один из них, то другой непременно подумает, что ему досталась меньшая часть. А как разделить пирог, чтобы оба остались довольны?

Можно поступить следующим образом. Пусть сначала один из них делит пирог на две равные, по его мнению, части. Это означает, что он готов взять любую из этих частей. Ведь он сам делил! Теперь второй пусть выбирает любой кусок. Тогда первому остается другой кусок. Так можно разделить пирог или что-то другое между двумя людьми. Хотя, честно говоря, первым быть все-таки невыгодно.

Тут дедушка остановился. Его внимание привлекла куча кирпичей, лежащих около изгороди. Взяв один кирпич, он сказал:

— Смотри, задачи возникают на каждом шагу, «валяются» на дороге. Надо только уметь видеть. Это кирпич. Математики говорят, что кирпич имеет форму параллелепипеда.

Затем дедушка вынул из кармана рулетку. (Поясняем: рулетка — это такой простейший инструмент, с помощью которого можно мерить небольшие расстояния, до десяти метров. Обычно рулетка — это просто свернутая металлическая лента с делениями в специальной коробочке.) Вот задание.

20. При помощи линейки измерь диагональ этого кирпича.

— Знаешь, что такое диагональ кирпича, а точнее, параллелепипеда? Это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. Как видишь, она (диагональ) или он (отрезок) проходит внутри кирпича (параллелепипеда). Итак, бери рулетку и действуй!

Но как Федя ни прикладывал рулетку, измерить, что требовалось, ему не удавалось.

— Задача эта практическая. В твоем распоряжении много кирпичей, — подсказал дедушка.

И тут Федя сообразил. Он взял три кирпича. Но хотя найденное решение ему очень понравилось, он не удержался и задал два вопроса:

— При чем здесь математика? Зачем надо измерять диагональ кирпича?

На что дедушка ответил:

— Каждый раз, когда человек думает, решает интересную задачу, он занимается математикой. Пусть немного. Хотя, конечно, не одной математикой. Здесь важен не результат. Важно было придумать способ измерения. Подобные задачи часто приходится решать ученым. Например, измерить вес атома, толщину волоса, расстояние до Солнца. Это все необходимо знать. И, кроме того, человек иногда должен делать что-то просто так. Из любопытства.