Яков Перельман - Головоломки и развлечения

Надо развесить 2 кг сахарного песку на 200-граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря да еще молоток, весящий 900 г.

Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком?

Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, — без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.

Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро — 10-ю долю.

Если вы желаете попытать свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10 кг, а всего 9 1/4 кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец, предполагается, изготовлен из сплошного металла, без пустот.

Расчеты подобного рода выполняются в уме так. Надо умножить 89,4 г на миллион, то есть на тысячу тысяч.

Умножаем в два приема: 89,4 × 1000 = 89,4 кг, потому что килограмм в 1000 раз больше грамма. Далее: 89,4 кг × 1000 = 89,4 т, потому что тонна в 1000 раз больше килограмма.

Итак, искомый вес — 89,4 т.

Так как мед тяжелее керосина в два раза, то разница в весе 500–350, то есть 150 г, есть вес керосина в объёме банки (банка с медом весит столько же, сколько весила бы банка с двойным количеством керосина). Отсюда определяется чистый вес банки: 350–150 = 200 г. Действительно: 500–200 = 300 г, то есть мед вдвое тяжелее такого же объема керосина.

Обыкновенно отвечают, что бревно, увеличенное в толщине вдвое, но вдвое же укороченное, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, то есть весить 60 кг.

Каждое тело, если погрузить его в воду, становится легче: оно «теряет» в своем весе столько, сколько весит вытесняемая им вода. Зная этот закон (открытый Архимедом), мы без труда можем ответить на вопрос задачи.

Булыжник весом 2 кг занимает больший объем, чем 2-килограммовая гиря, потому что материал камня (гранит) легче железа. Значит, булыжник вытеснит больший объем воды, нежели гиря, и, по закону Архимеда, потеряет в воде больше веса, чем гиря. Итак, весы под водой наклонятся в сторону гири.

При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса. Поэтому гири под водой будут иметь 7/8 прежнего веса, гвозди — также 7/8 своего веса. И так как гири были в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.

3/4 бруска мыла + 3/4 кг весят столько, сколько целый брусок. Но в целом бруске содержится 3/4 бруска + 1/4 бруска. Значит, 1/4 бруска весит 3/4 кг, и, следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем 3/4 кг, то есть 3 кг.

Сравните первое и второе взвешивания. Вы видите, что раковину при первом взвешивании мы можем заменить одним кубиком и восемью бусинами, — ведь то и другое имеет одинаковый вес. У нас оказалось бы тогда на левой чашке четыре кубика и восемь бусин, и это уравновешивалось бы 12 бусинами. Сняв теперь с каждой чашки по восемь бусин, мы не нарушим равновесия. Останется же у нас на левой чашке четыре кубика, на правой — четыре бусины. Значит, кубик и одна бусина весят одинаково.

Теперь ясно, сколько бусин весит раковина: заменив (второе взвешивание) один кубик на первой чашке бусиной, узнаем, что вес раковины равен весу девяти бусин.

Результат легко проверить.

Замените при первом взвешивании кубики и раковины на левой чашке соответственным числом бусин; получите 3 + 9 = 12, как и должно быть.

Заменим при первом взвешивании одну грушу шестью персиками и яблоком; мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько шесть персиков и яблоко. У нас окажется на левой чашке четыре яблока и шесть персиков, на правой — 10 персиков. Сняв с обеих чашек по шести персиков, узнаем, что четыре яблока весят столько же, сколько одно яблоко.

Теперь легко уже сообразить, что вес груши равен весу семи персиков.

Задачу эту можно решать на разные лады. Вот один из способов.

Заменим при третьем взвешивании каждый кувшин одной бутылкой и одним стаканом (из первого взвешивания мы знаем, что весы при этом должны оставаться в равновесии). Мы узнаем тогда, что две бутылки и два стакана уравновешиваются тремя блюдцами. Каждую бутылку мы на основании второго взвешивания можем заменить одним стаканом и одним блюдцем. Окажется тогда, что четыре стакана и два блюдца уравновешиваются тремя блюдцами.

Сняв с каждой чашки весов по два блюдца, узнаем, что четыре стакана уравновешиваются одним блюдцем.

И, следовательно, бутылка уравновешивается (сравни второе взвешивание) пятью стаканами.

Порядок отвешивания таков. Сначала кладут на одну чашку молоток, на другую — гирю и столько сахарного песку, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на эту чашку песок весит 900–500 = 400 г. Ту же операцию выполняют еще три раза; остаток песку весит 2000 — (4 × 400) = 400 г.

Теперь остается только каждый из пяти полученных 400-грамовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь очень просто: рассыпают содержимое 400-грамового пакета в два картуза, поставленных на разных чашках, пока весы не уравновесятся.

Вот так.

Если бы заказанный венец был сделан целиком из чистого золота, он весил бы вне воды 10 кг, а под водой потерял бы 20-ю долю этого веса, то есть 1/2 кг. В действительности же венец, мы знаем, теряет в воде не 1/2 кг, а 10 — 9 1/4 = 3/4 кг. Это потому, что он содержит в себе серебро — металл, теряющий в воде не 20-ю, а 10-ю долю своего веса. Серебра должно быть в венце столько, чтобы венец терял в воде не 1/2 кг, а 3/4 кг — на 1/4 кг более. Если в нашем чисто золотом венце заменим мысленно 1 кг золота серебром, то венец будет терять в воде больше, нежели прежде, на 1/10 — 1/20 = 1/20 кг. Следовательно, чтобы получилось требуемое увеличение потери веса на 1/4 кг, необходимо заменить серебром столько килограммов золота, сколько раз 1/20 кг содержится в 1/4 кг; но 1/4: 1/20 = 5. Итак, в венце было 5 кг серебра и 5 кг золота вместо выданных 2 кг серебра и 8 кг золота. 3 кг золота было утаено и заменено серебром.