Марат Авдыев - Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей

Трансцендентное число не может быть корнем алгебраического выражения, например число π = 3.14158 или число Эйлера е = 2.718. Вместе с тем трансцендентные числа играют важную роль не только в геометрии, но при описании динамических процессов в физике, экономике, социологии.

Целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа образуют вместе множество действительных чисел R можно сопоставить каждому числу точку на оси абсцисс Х и радиус вектор из начала координат до этой точки, при этом длина этого вектора будет равна модулю числа |х|. Для случая плоскости R 2, мы будем иметь дело с парами чисел: (x, y) и радиус вектором из начала координат до точки на плоскости. Для трехмерного пространства R 3понадобится задавать координаты его точек уже тройками чисел (x, y, z) а для многомерного пространства R nкоординаты любой точки по осям описываются радиус-вектором (x 1, x 2,…x n).

Интересно заметить, что целые числа можно сосчитать, а именно: сопоставить каждому целому числу натуральное число – его модуль. Отрицательные числа можно считать парами вместе с положительными (это напоминает работу проводника на два вагона). Такое множество, хотя и бесконечно, является счётным. Несложные рассуждения позволяют сделать вывод, что является счётным множество рациональных числе p/q. Представим себе огромный (бесконечный) кинозал, где номер ряда – это числитель, а номер места – знаменатель. Так например в первом ряду расположены слева направо (или с Запада на Восток) зрительские места с дробями 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Во втором – 2/1, 2/2, 2/3, 2/4 и т. д. Предположим, что все места размещены в зале с соблюдением социальной дистанции, так что контролёр может свободно перемещаться как по рядам, так насквозь любого ряда.

Если безбилетник сидит на месте p в ряду q, то проводник – робот, следующий из вершины 1/1 всё равно его обнаружит, если будет придерживаться несложного алгоритма. Итак, контролёр входит в зрительский зал с Северо-Запада, как раз в месте размещения 1/1.

Контролёр делает один шаг на Восток к месту 1/2;

далее шагает в Юго-Западном направлении к месту 2/1;

после этого делает ещё один шаг на Юг к месту 3/1;

затем совершает два шага в Северо-Восточном направлении к местам 2/2 и 1/3;

после чего совершает один шаг на Восток к 1/4;

потом три шага в Юго-Западном направлении, проверяя места 2/3, 3/2, 4/1…

И таким образом контролёр последовательно исследует зрительский зал, дрейфуя как челнок, то в Юго-Западном, то в Северно-Восточном направлениях, охватывая контролируемую территорию всё расширяющимся на один шаг с каждым обходом треугольником, вершина которого размещается в Северо-Западной части зала.

Рис. 1.3. Рациональные числа можно «сосчитать». Если робот – контролёр двигается по маршруту как указано на рисунке, то он найдёт безбилетника в ряде q на месте p, что соответствует дроби p/q.

Вместе с тем, действительные числа сосчитать невозможно это множество образует континуум . Между двумя близкими рациональными числами всегда найдётся сколько угодно много других иррациональных чисел. Например, в треугольнике средняя линяя равномощна основанию. Это следует понимать так, что каждой точке на средней линии треугольника соответствует точка на его основании, и наоборот.

Представим себе, что Вы управляете дроном. Пульт управления необычен. Он имеет кнопочки, задающие движения:

Рис. 1.4. Управление дроном.

Дрон может двигаться:

на Север, на Юг,

на Запад

на Восток

Вниз

Вверх

Сам дрон имеет гирокомпас и отлично ориентируется в пространстве, ожидая Ваших команд.

Допустим, Вам требуется доставить пакет с вакциной от корнавируса на 10-ый этаж и аккуратно подать его в окно. Вы находитесь в начале координат, а пункт назначения – 10 м на Восток, 10 м. на Север, и 20 м. вверх. Эти координаты можно задать так:

Пункт назначения точка P = (10, 10, 20) в координатных осях

При этом подразумевается, что мысленно мы используем оси:

Запад -Восток – ось Х

Юг- Север – ось Y

Низ-Верх – ось Z

А теперь, допустим, Вы производите запуск с балкона небоскрёба.

Если бы окно находилось по отношению к Вам на 20 м. западнее, на 5 м. южнее и на 15 м. ниже Вашего балкона, то координаты точки P = (-10, -5, -15)

Это так называемая Декартова система координат по имени математика и философа Рене Декарта. Наглядный двумерный случай Декартовой системы координат – это шахматная доска, это плоская карта местности. Каждая точка однозначно определяется двумя координатами.

Как бы Вы объяснили двумерному существу третье измерение – высоту? Предположим, что в совершенно плоском мире Вы ведёте диалог с философом, имеющим богатое творческое воображение, Вы принялись бы объяснять, как можно повернуть ботинок, больше напоминающий в этом случае стельку от обуви, в третьем измерении и сделать из правого ботинка левый и наоборот.

Точно так же трёхмерный ботинок можно разверзнуть в четырехмерном пространстве и сделать правый левым, а левый – правым.

====== Знаете ли Вы что такое Флатландия? ======

«Флатла́ндия» (англ. «Flatland: A Romance of Many Dimensions») – роман Эдвина Э. Эбботта, который вышел в свет в 1884 году. Этот научно-фантастический роман считается полезным для людей, изучающих, например, понятия о других пространственных измерениях или гиперпространствах. Как литературное произведение роман ценится из-за сатиры на социальную иерархию викторианского общества. Айзек Азимов в предисловии к одной из многих публикаций романа написал, что это «лучшее введение в способ восприятия измерений, которое может быть найдено».

По этой книге было снято несколько фильмов, в том числе одноимённый художественный фильм 2007 года, в России известный как Плоский Мир.

=======================================================

Итак, в многомерном пространстве координаты любой точки P задаются относительно начала координат выражением: P = (x 1, x 2, … x n), а вектор соединяющий начало координат – точку (0, 0,0 … 0) и точку P именуется радиус вектором например A, B, C его компоненты – это координаты по осям: x1, x2, … xn

интересно заметить, что как в двумерном, трёхмерном пространстве, так и многомерном пространстве радиус векторы можно складывать – вычитать покомпонентно: