Льюис Кэрролл - Логическая игра

А вот ещё одно общее суждение: «Барзилаи Беккалегг — честный человек». Означает оно следующее: «Все Барзилаи Беккалегги, которых я в данный момент рассматриваю, честные люди». (Вы, наверное, думаете, что я выдумал столь звучное имя? Ничуть не бывало! Я прочитал его на тележке разносчика где-то в Корнуолле).

Такой тип общих суждений, у которых субъект сводится к одному-единственному предмету, называются единичным суждением.

Выберем теперь « вкусные булочки» в качестве субъекта суждения, т. е. сосредоточим наше внимание на левой половине подноса, где все булочки обладают признаком y , иначе говоря, вкусные.

Предположим, что левая половина размечена следующим образом

Что бы это значило?

После того как мы столь подробно объяснили, что означают все возможные случаи для двух клеток, расположенных по горизонтали , нет необходимости тратить время на перебор всех мыслимых случае заполнения двух клеток, выстроенных по вертикали . Думаю, что вы и сами догадались: красная фишка в верхней клетке означает «Некоторые y суть x », или «Некоторые вкусные булочки свежие».

— Как же так? — спросите вы. — Ведь с красной фишкой, стоящей в клетке 5, мы уже встречались. Тогда вы поставили красную фишку на клетку 5 и сказали, что это означает «Некоторые свежие булочки вкусные», а теперь вы утверждаете, будто красная фишка, стоящая в клетке 5, означает «Некоторые вкусные булочки свежие» . Разве может красная фишка в клетке 5 означать и то и другое суждение одновременно?

Вопрос этот весьма глубок и делает честь вашей проницательности , дорогой читатель! Красная фишка, стоящая в клетке 5, действительно означает и то и другое суждение. Если в качестве объекта суждения вы выберете x (т. е. «свежие булочки»), а клетку 5 будете считать стоящей в горизонтальном ряду, получится суждение «Некоторые x суть y », т. е. «Некоторые свежие булочки вкусные». Если же в качестве объекта суждения вы выберете y (т. е. «вкусные булочки»), а клетку 5 будете считать стоящей в вертикальном ряду, получится суждение «Некоторые вкусные булочки свежие». Оба суждения служат двумя различными способами выражения одной и той же истины.

Не тратя лишних слов, я просто выпишу все остальные случаи заполнения двух вертикальных клеток, указывая каждый раз суждение, которому они соответствуют. Сравнивая их с различными вариантами заполнения горизонтального ряда, вы без труда во всем разберётесь.

Прекрасный способ проверить себя с помощью приводимой ниже таблицы — закрыть сначала правый, потом левый столбец и попытаться самостоятельно восстановить его. Такая проверка поможет вам, как говорят школьники, выучить таблицу «назубок».

Будет очень хорошо, если вы составите для себя ещё две таблицы: одну — для нижней половины подноса, другую — для его правой половины.

Обозначения — Суждения

— «Некоторые x суть y' », т. е. «Некоторые вкусные (булочки) чёрствые».

— «Ни один y не есть x », т. е. «Ни одна вкусная (булочка) не свежая». Обратите внимание, что то же самое можно сказать иначе: «Ни одна свежая булочка не вкусная».

— «Ни один y не есть x », т. е. «Ни одна вкусная булочка не чёрствая».

— «Некоторые y суть x , и некоторые y суть x' », т. е. «Некоторые вкусные (булочки) свежие, и некоторые — не свежие».

— «Ни один y не есть x , и ни один y' не есть x », т. е. «Ни один y не существует», или «Вкусных булочек нет».

— «Все y суть x », т. е. «Все вкусные булочки свежие».

— «Все y суть x' », т. е. «Все вкусные булочки не свежие».

Мне кажется, что мы уже сказали все необходимое о малой диаграмме и можем переходить к большой.

Её можно представлять себе в виде подноса, расчерченного так же, как мы расчерчивали подносы до сих пор, который, кроме того , разделён на две части (для признака m ).

Условимся считать, что m означает «полезный». Предположим, что все полезные булочки сложены внутри центрального квадрата, а все не полезные (вредные для здоровья) — вне его , т. е. в какой-то из четырёх внешних причудливо изогнутых клеток.

При рассмотрении малой диаграммы булочки, находившиеся в каждой из её клеток, обладали двумя признаками. Теперь же булочки в любой из клеток обладают тремя признаками. Буквы, обозначавшие два признака, мы ставили на границе, отделяющей одну клетку от другой. Теперь же мы будем ставить их у вершин клеток. (Обратите внимание на то, что внешние вершины четырёх наружных клеток считаются помеченными буквой m .) Взглянув на любую клетку, мы можем тотчас же сказать, какими тремя признаками обладают находящиеся в ней предметы. Возьмём, например, клетку 12. В её вершинах стоят буквы x, y', m , поэтому мы знаем, что находящиеся в ней булочки (если таковые существуют) обладают тройным признаком xy'm , т. е. «свежие, невкусные и полезные». Рассмотрим теперь клетку 16. В её вершинах стоят буквы x', y', m'. Следовательно, находящиеся в ней булочки «несвежие, невкусные и не полезные».

Перебор всех суждений, содержащих x и y, x и m, y и m , которые можно представить на большой диаграмме, занял бы слишком много времени, и я ограничусь тем, что рассмотрю лишь два или три суждения в качестве примера (думаю, что вы не станете сердиться на меня за это, когда узнаете, что всего таких суждений 96). Но вы поступите очень хорошо, если изучите гораздо больше случаев.

Рассмотрим отдельно верхнюю половину большой диаграммы, иначе говоря, суждения с субъектом «свежие булочки». Как изобразить на ней суждение «Ни одна свежая булочка не полезная»?

В буквенных обозначениях интересующее нас суждение имеет вид: «Ни один x не есть m ». Записанное так, оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящаяся на верхней половине подноса (т. е. большой диаграммы), не лежит внутри центрального квадрата. Другими словами, клетки 11 и 12 пусты. На диаграмме такая ситуация изображается так

А как выглядит противоположное суждение «Некоторые x суть m »? Эту трудность мы уже обсуждали. Лучший способ разрешить её состоит, как мне кажется, в следующем. Нужно поставить красную фишку на линию, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и считать, что это означает: « Одна из клеток (11 и 12) „занята“, но какая именно , пока ещё не известно». На диаграмме эту ситуацию я обозначу так