Льюис Кэрролл - Логическая игра

Изобразим на диаграмме суждение «Все x суть m ». Как мы уже знаем, оно состоит из двух суждений

«Некоторые x суть m »

и

«Ни один x не есть не m ».

Начнём с отрицательного суждения. Оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящихся на верхней половине подноса, не должна лежать вне центрального квадрата, т. е. что клетки 9 и 10 пустые . Ясно, что на диаграмме это выглядит так

Но мы должны ещё нанести на диаграмму суждение «Некоторые x суть m ». Оно говорит нам, что некоторые булочки находятся в горизонтальном ряду, состоящему из клеток 11 и 12. Поэтому, как и в предыдущем примере, мы поставим красную фишку на границу, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и в результате получим

Попытаемся теперь перевести одну или две диаграммы на обычный язык.

Что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму

Прежде всего мы видим, что квадрат xy ' полностью пуст: и клетка 12, и «уголок» 10 помечены нулями. Относительно квадрата xy диаграмма говорит нам, что он занят. Правда, помечена единицей в нем лишь клетка 11, но и этого вполне достаточно, чтобы утверждать (независимо от того, пуст или занят «уголок» 9), что в квадрате xy что-то есть.

Если мы захотим избавиться от признака m и перейдём к меньшей диаграмме, то в её клетках нуль и единица будут расставлены так

что, как известно, означает «Все x суть y ».

Точно к такому же результату мы бы пришли, если бы верхняя половина большой диаграммы имела вид

А что можно сказать относительно x и y , глядя на диаграмму

Прежде всего, что одна из частей квадрата xy — его «уголок» — пуста. Но эта информация совершенно бесполезна, поскольку в другой его части — клетке 11 — не стоит ничего. Если эта клетка окажется пустой, то и весь квадрат xy будет пуст. Если же клетка 11 окажется занятой, то и квадрат xy будет занят. Итак, поскольку нам неизвестно, какая фишка стоит в клетке 11 — красная или чёрная, — мы ничего не можем сказать и относительно квадрата xy .

Зато о другом квадрате — xy ' — мы можем с уверенностью утверждать, что он (как и в предыдущем примере) занят.

Перенеся разметку на меньшую диаграмму, получим

что означает «Некоторые x суть y' ».

Те же принципы применимы и ко всем другим половинкам большой диаграммы — вертикальным и горизонтальным. Например, чтобы представить на большой диаграмме суждение «Все y' суть m' », необходимо взять её правую вертикальную половину (ту, которая отвечает признаку y' ) и разметить её следующим образом

Если же мы захотим узнать, какое суждение (относительно x и y ) содержится в нижней половине большой диаграммы, на которой нули и единицы расставлены так

то, преобразовав её в малую диаграмму

мы без труда «расшифруем» скрытое в ней суждение: «Все x' суть y ».

Относительно суждений необходимо сделать ещё два замечания.

Во-первых, в каждом суждении, начинающемся со слов «некоторые» или «все», утверждается, что субъект суждения существует в действительности . Например, если я говорю: «Все скупые люди эгоистичны», то я подразумеваю что скупые люди существуют в действительности. Если бы я хотел избежать такого утверждения или только сформулировать правило , согласно которому скупость с необходимостью влечёт за собой эгоизм, то я выразился бы иначе: «Ни один скупой человек не есть неэгоист». Это суждение не утверждает, что скупые люди вообще существуют. В нем лишь говорится, что если бы скупые люди существовали, то они были бы эгоистами.

Во-вторых, если суждение начинается со слов «некоторые» или «ни один» и содержит более двух признаков, то эти признаки можно произвольно переставлять и относить к любому из терминов суждения.

Например, суждение «некоторые abc суть def » можно преобразовать в суждение «Некоторые bf суть acde », причём каждое из суждений (и исходное, и преобразованное) эквивалентно суждению «Некоторые предметы суть abcdef ».

Ещё пример. Суждение «Ни один мудрый пожилой человек не является опрометчивым и безрассудным игроком» можно преобразовать так: «Ни один опрометчивый пожилой игрок не является мудрым и безрассудным (человеком)». Оба суждения эквивалентны следующему: «Ни один человек не является мудрым, пожилым, опрометчивым и безрассудным игроком».

Предположим теперь, что мы разделили наш «Мир предметов» тремя способами в соответствии с тремя различными признаками. Из трёх признаков можно составить три различные пары (например, если имеются признаки a, b, c , то из них можно составить три пары ab, ac и bc ). Предположим кроме того, что два суждения, содержащие две из трёх пар признаков, нам даны, и что из них мы умеем выводить третье суждение, содержащее оставшуюся (третью) пару признаков. (Пусть, например, мы разделили наш «Мир» в соответствии с признаками m, x и y . Тогда, если нам даны два суждения «Ни одно m не есть x' » и «Все m' суть y », содержащее пары признаков mx и my , то, опираясь на них, мы можем доказать третье суждение, содержащее признаки x и y .)

В этом случае те суждения, которые даны, называются посылками , третье, выводимое из них суждение — заключением , а все вместе — силлогизмом .

Ясно, что либо один из признаков непременно должен входить в обе посылки, либо в одну посылку должен входить сам признак , а в другую — ему противоположный .

В первом случае термин, который повторяется дважды (например, когда в качестве посылок выбраны суждения «Некоторые m суть x » и «Ни одно m не есть y' »), называется средним термином , поскольку он служит своего рода связующим звеном между двумя другими терминами.

Во втором случае (например, когда посылки имеют вид суждений «Ни один m не есть x' », и «Все m' суть y ») два термина, содержащие противоположные признаки, можно назвать средними терминами.