Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Задача 14. 1)Несколько мальчиков стали в ряд, при этом разница в росте между двумя соседними не более 10см. Потом их построили по росту. Докажите, что и теперь разница в росте между двумя соседними мальчиками не более 10 см.

2) На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берется по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.

Задача 15.Найдите ошибку в рассуждении.

Докажем от противного, что ленивых учеников больше, чем прилежных. Предположим, что прилежных не меньше, чем ленивых. Несомненно, ленивых учеников больше, чем надо. Значит, получается, что прилежных учеников тем более больше, чем надо?! Сэтим мы, учителя, согласиться никак не можем. Получили противоречие, значит, исходное предположение было неверно, и на самом деле ленивых учеников больше, чем прилежных.

Задача 1.1) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Что можно сказать об истинности высказываний А ⇒ Б и Б ⇒ А?

2) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А ⇒ Б?

3) Известно, что высказывание А ⇒ Б ложно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А Б?

Приведите для каждого случая примеры подходящих высказываний.

Задача2. Бабушка печет пирог в те и только те дни, когда ждет гостей.

1) Бабушка печет пирог. Можно ли утверждать, что она сегодня ждет гостей?

2) Бабушка не печет пирог. Можно ли утверждать, что сегодня она не ждет гостей?

Задача 3.Равносильны ли высказывания Аи Б?Если нет, то следует ли хотя бы одно из них из другого?

1) А: «Некоторые принцессы – красавицы»; Б: «Некоторые красавицы – принцессы».

2) А: «Все принцессы – красавицы»; Б: «Все красавицы – принцессы».

3) А: «Число N кратно 11»; Б: «Сумма цифр числа N, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах».

4) А: «Число N является квадратом натурального числа»; Б: «У числа N нечетное число делителей».

5) А: «У любой девочки из 6 „А“ больше друзей среди одноклассников, чем у любого мальчика из 6 „А“ среди одноклассниц»; Б: «В 6 „А“ мальчиков больше, чем девочек».

Задача 4.Чтобы доказать равносильность двух утверждений А и Б, необходимо доказать две теоремы: А ⇒ Б и Б ⇒ А. А какое наименьшее число теорем надо доказать, чтобы убедиться в равносильности: а) трех утверждений; б) десяти утверждений?

Задача5*. В лифте многоэтажного дома работают только две кнопки: одна поднимает лифт на х этажей, вторая опускает на у этажей (если это возможно при данном положении лифта), где натуральные числа х и у меньше количества этажей в доме. Рассмотрим три утверждения:

(1) С любого этажа можно попасть на любой другой.

(2) С любого этажа, кроме последнего, можно подняться на следующий.

(3) С любого этажа, кроме первого, можно спуститься на предыдущий.

1) Покажите, что в зависимости от значений х и у каждое утверждение может быть как верным, так и неверным.

2) Между какими из этих утверждений можно поставить знак следствия и получить верное высказывание? Есть ли среди данных трех утверждений равносильные?

Задача 6.Иа-Иа считает, что у Винни-Пуха хорошее настроение бывает тогда и только тогда, когда Винни-Пух хорошенько подкрепился. Съев всё, что было у Кролика, Винни-Пух застрял в норе, и его настроение сразу испортилось. Прав ли Иа-Иа?

Задача 7.Будем считать, что трава зеленая, а небо голубое. Определите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны:

1) Если трава зеленая, то небо голубое.

2) Если трава зеленая, то небо оранжевое.

3) Если трава оранжевая, то небо зеленое.

4) Если трава оранжевая, то небо голубое.

5) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо голубое.

6) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо оранжевое.

7) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо зеленое.

8) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо голубое.

Задача8. В лесу живут только ляпусики и мордасики. Равносильны ли для обитателей леса три утверждения:

(1) все ляпусики кузявые;

(2) если кто-то некузяв, то он мордасик;

(3) никто, кроме мордасиков, не может быть некузявым?

Задача9. Объект охраняют пятеро часовых: А, Б, В, Г и Д. При

этом справедливы следующие утверждения:

1) Если А спит, то и Б спит.

2) Хотя бы один из Г и Д спит.

3) Ровно один из Б и В спит.

4) В спит тогда и только тогда, когда спит Г.

5) Если Д спит, то А и Г тоже спят.

Перечислите всех спящих часовых.

Задача 10*.Трех братьев пригласили на день рождения. Всего ожидалось 17 человек. «Вот бы мальчиков было больше, чем девочек», – захотел первый. «Вот бы при любой рассадке по кругу нашлось два мальчика рядом», – захотел второй. «Вот бы при любой рассадке по кругу нашелся гость, сидящий между двумя мальчиками», – захотел третий. Докажите, что все трое хотят одного и того же.

Указание.Докажите равносильность трех утверждений по кругу: 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.

Задача 11*. Упрофессора есть n утверждений А 2, …, А n. О том, что все эти утверждения равносильны, знает только он. Профессор по очереди дает ученикам для доказательства такие теоремы: A i ⇒ A j. Нельзя давать теорему, если она следует из ранее доказанных. Какое наибольшее число теорем могут доказать ученики, если: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) в общем случае?

Задача 1.Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Незнайка задумал два числа и сообщил Знайке их произведение. Знайка не смог отгадать задуманные числа. Какое произведение мог сообщить Незнайка?

Задача 2.Встретились как-то два математика и разговорились:

А: «У меня трое сыновей».

Б: «Сколько им лет?»

А: «Произведение их возрастов равно 36. А сумма их возрастов равна номеру твоего дома».

Б: «Я все равно не знаю, сколько лет каждому».

А: «Мой старший сын рыжий».

После этого Б смог определить, сколько лет сыновьям А. Сколько же?

Задача 3.За столом сидело несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Путешественник спросил каждого про его ближайших соседей. Каждый ответил: «У меня оба соседа – лжецы». Путешественник сказал: «Если бы вас было на одного больше или на одного меньше, я бы смог узнать, сколько среди вас рыцарей. А так не могу». Сколько человек было за столом?