Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ним мы сейчас и перейдём.

Алиса с Чеширским Котом вышли к берегу моря и остановились перед обрывом. Далеко внизу пенился прибой.

— Как же мы попадём отсюда на бал? — удивлённо спросила Алиса и посмотрела на Кота.

Кот не ответил — он вглядывался вдаль и, казалось, чего-то ждал.

— За нами, наверное, должен прийти корабль, — подумала Алиса. — А, может быть, бал будет на самом корабле?

Она посмотрела туда, куда смотрел Кот, но не увидела ничего, кроме линии горизонта.

— Эта линия очень похожа на прямую, — сказала Алиса, показывая на линию горизонта.

— Ты уверена? — отозвался Кот.

— Ничего прямее даже представить невозможно! — воскликнула Алиса.

— Тогда посмотри кругом , — предложил Кот.

Алиса повела взглядом вдоль линии горизонта и с удивлением обнаружила, что море окружает их со всех сторон — они с Котом стояли теперь на одинокой скале посреди моря!

— Ну что? — широко улыбаясь, спросил Кот. — Ты по-прежнему считаешь, что линия горизонта похожа на прямую?

Алиса ещё раз обвела взглядом всю линию горизонта — для этого ей пришлось снова повернуться кругом !

— Нет, — признала она. — Линия горизонта возвращается в ту же точку, а прямая — не возвращается!

— Значит, линия горизонта — не прямая, — заключил Кот и, видя удивление Алисы, добавил: — Это окружность.

— Окружность рисуют циркулем, — вспомнила Алиса (она успела прочесть об этом в учебнике математики). — Но где же здесь циркуль?

— Циркуль — это твой взгляд, — пояснил Кот. — Все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра — потому её и рисуют циркулем! А все точки линии горизонта находятся на одном и том же расстоянии от нас .

— Действительно, — согласилась Алиса, еще раз поворачиваясь вокруг себя и глядя на линию горизонта. — Скажите, мы ждём, когда за нами придёт корабль?

— Нет, — ответил Кот. — Мы ждём, когда уйдёт линия горизонта.

— Что?! — поразилась Алиса. — Куда же она может уйти?

— В бесконечность, — отозвался Кот. — Наша планета начнёт сейчас увеличиваться, а чем больше планета, тем дальше линия горизонта!

— Но зачем планете увеличиваться? — удивилась Алиса. — По-моему, она и так уже достаточно большая — наверное, не меньше Земли!

— Даже если бы она была в миллион раз больше Земли, на ней не смогло бы уместиться бесконечное множество танцующих, — ответил Кот. — Для этого планета должна стать бесконечно большой!

— Бесконечное множество танцующих? — переспросила Алиса. — Неужели будет такой большой бал?

— Уверяю тебя, такого бала ты никогда ещё не видела! — воскликнул Кот и вдруг показал лапой вдаль: — Смотри!

Алиса внимательно посмотрела на линию горизонта и увидела, что линия действительно начала удаляться! Она уходила всё дальше и дальше и, наконец, ушла в невообразимую даль.

Сразу же вслед за этим налетели резкие порывы ветра, и всё море подёрнулось пятнами ряби. Кое-где появились даже барашки, причём барашки были не только белыми, но и чёрными!

Вдруг Алиса заметила, что пятна на море начали превращаться в белые и чёрные квадраты, а барашки — в белые и чёрные шахматные фигуры! Она перевела удивлённый взгляд на Кота и... почувствовала, будто скала под нею качнулась! Алиса невольно схватилась за Кота.

— Не бойся, — улыбнулся Кот. — Просто мы летим!

И действительно, Алиса с Котом находились теперь в большой корзине, от которой уходили вверх туго натянутые канаты. Подняв голову, Алиса увидела над собою большой воздушный шар!

Она посмотрела вниз — никакой скалы не было и в помине: под ними расстилалась бескрайняя шахматная доска, а на ней, насколько хватал глаз, стояли шахматные фигуры.

Алисе захотелось рассмотреть фигуры получше.

— Жаль, что у нас нет подзорной... — начала думать она, и Кот протянул ей длинную подзорную трубу.

Направив трубу вниз, Алиса увидела много интересного.

Прежде всего, фигуры были живыми ! Они стояли небольшими группами одного цвета: король, королева и восемь пешек-пажей в каждой группе. На королях и королевах были длинные мантии, которые развевались при каждом движении, а на пажах — короткие плащи, легкие, как ветер.

Присмотревшись, Алиса увидела, что на одежде каждой фигуры красиво вышито число: на белых фигурах цифры были чёрными, а на чёрных — белыми.

В одной из групп белых фигур Алиса узнала своего знакомого Белого Короля; на его мантии и на мантии стоящей рядом с ним Белой Королевы были вышиты большие чёрные единицы. Почувствовав на себе взгляд Алисы, Король поднял голову и помахал Алисе рукой. Она ответила ему, и вдруг белые пешки-пажи тоже стали её приветствовать (Алисе, конечно, трудно было узнать в этих изящных пажах своих знакомых-поварят, но они её узнали!). На белых плащах пажей были вышиты числа от одного до восьми.

Рядом с этой группой белых фигур стояла группа чёрных фигур. Алиса заметила, что на мантиях Чёрного Короля и Чёрной Королевы вышиты белые единицы, а на плащах пажей — тоже числа от одного до восьми.

— Что означают числа на одежде фигур? — спросила Алиса.

— Каждая фигура имеет свой номер, — пояснил Кот.

— А здесь есть фигуры с любыми номерами? — снова спросила Алиса, пытаясь окинуть взглядом безбрежное море фигур.

— С любыми, — подтвердил Кот. — Какое натуральное число ни возьми, здесь есть один белый король с таким номером, одна белая королева и одна белая пешка. И чёрные фигуры пронумерованы точно так же.

— Но зачем нужны эти номера? — спросила Алиса, но в этот момент заиграла музыка.

Первым танцем был менуэт — «король танцев» и «танец королей». Белые короли вели чёрных королев, а чёрные короли — белых королев. Это было великолепное зрелище: сверху казалось, будто по всей шахматной доске под медленную музыку двигаются чёрно-белые волны.

— Обрати внимание на важное правило танца, — сказал Кот, любуясь танцующими парами, — каждый король ведёт королеву с точно таким же номером, как у него самого .

— Действительно, — подтвердила Алиса, внимательно посмотрев в подзорную трубу. — Но разве это так важно?