Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

— Множество может состоять даже из одного элемента, — отозвалась Гусеница. — Например, ты — единственный элемент множества, которое состоит из одной тебя!

— Я не элемент, а девочка! — обиделась на этот раз Алиса.

— Элементами называют то, из чего состоят множества, — пояснила Гусеница. — Ты — элемент множества девочек, и ещё множества тех, кого зовут Алисой, и ещё... — Гусеница внимательно посмотрела на Алису, — ...множества тех, у кого есть карманы. В это множество, кстати, ты входишь вместе с кенгуру...

— Но я не хочу быть в одном множестве с кенгуру! — перебила Алиса.

— Ты в одном множестве даже с лягушками, — невозмутимо отозвалась Гусеница. — Это, например, множество тех, у кого есть голова...

— Но тогда получается, что я вхожу в любое множество, — рассудила Алиса.

— Не в любое, — сказала Гусеница. — Ты не входишь, например, в множество лягушек...

— Вы же сами только что сказали, что я с ними в одном множестве! — перебила Алиса.

— Даже не в одном , — попыхивая кальяном, произнесла Гусеница. — Ты вместе с лягушками входишь в много разных множеств. Но в само множество лягушек ты не входишь!

— Почему? — спросила Алиса, совсем сбитая с толку.

— Потому что ты не лягушка, — спокойно ответила Гусеница и снова внимательно посмотрела на Алису.

Бедная Алиса даже не могла придумать, как продолжить этот разговор!

— Ещё ты не входишь в множество тех, кто знает всё ! — после недолгого молчания глубокомысленно изрекла Гусеница.

— Но разве кто-нибудь знает всё? — удивилась Алиса.

— Никто! — коротко ответила Гусеница.

— Значит, множества тех, кто знает всё, просто не существует, — сказала Алиса.

— Оно существует, — возразила Гусеница и, помолчав, добавила: — Но это множество пустое .

— Что это значит? — не поняла Алиса.

— Это значит, что в нём нет ни одного элемента, — ответила Гусеница.

— Зачем же нужно такое множество, в котором ничего нет? — удивилась Алиса.

— Без него нельзя было бы, например, умножать одни множества на другие, — спокойно произнесла Гусеница.

— Умножать множества? — воскликнула Алиса. — Но разве это числа?

— Множества не числа, — отозвалась Гусеница. — Поэтому и умножают их иначе. Мы с тобой, кстати, с этого начали!

— Я этого не заметила, — призналась Алиса.

— Ты сказала, что ты девочка, которую зовут Алисой, — напомнила Гусеница. — Так вот: если умножить множество всех девочек на множество всех Алис, то получится множество всех девочек, которых зовут Алисами...

— Я поняла! — воскликнула Алиса. — А если умножить множество всех кошек на множество всех жителей Оксфорда, то получится множество всех кошек, которые живут в Оксфорде, правильно?

— Мне никогда не приходилось бывать в Оксфорде, и я никогда не видела кошек, — сказала Гусеница, — но всё равно я могу подтвердить, что ты права!

— По одной из этих кошек я уже, кажется, соскучилась, — призналась Алиса.

— А что едят кошки? — поинтересовалась Гусеница.

— Гусениц они не трогают, — успокоила её Алиса. — Но я так и не поняла, зачем для умножения множеств нужно пустое множество?

— Попробуй умножить множество всех тигров на множество всех лягушек, — предложила Гусеница..

— Получится... получится множество всех тигров, которые являются лягушками... Но ведь таких нет! — воскликнула Алиса.

— Это и значит, что множество тигров-лягушек — пустое множество, — с довольным видом сказала Гусеница.

— Пустое множество похоже на нуль, — заметила Алиса. — Ведь нуль — это тоже ничто!

— Похоже, — согласилась Гусеница. — Но всё-таки пустое множество — это не нуль.

— Чем же отличается пустое множество от нуля? — заинтересовалась Алиса.

— Скажи — когда при умножении двух чисел получается нуль? — спросила Гусеница.

— Когда хотя бы одно из этих двух чисел равно нулю! — подумав, ответила Алиса.

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А вот для множеств это не так: можно перемножить два непустых множества и получить пустое множество!

— Конечно, — тут же согласилась Алиса. — Например, наши тигры-лягушки!

— Множества можно не только умножать, — сказала гусеница. — Их можно ещё складывать и вычитать .

— А как это делается? — спросила Алиса. — Нет, я лучше попробую сама! Если множество всех девочек сложить с множеством всех мальчиков, то получится множество всех детей, правильно?

— Я никогда не видела мальчиков, — произнесла Гусеница, — и не знаю, что такое дети. Но если дети состоят только из мальчиков и девочек, то ты права.

— Кажется, я догадываюсь, и как вычитать множества, — сказала Алиса. — Если из множества всех детей вычесть множество всех мальчиков, получится множество всех девочек, правильно?

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А теперь попробуй наоборот: вычти из множества всех девочек множество всех детей — что получится?

— Получится... — задумалась Алиса, — получится пустое множество — ведь нет таких девочек, которые не были бы детьми!

— Как видишь, пустое множество нужно не только для умножения множеств, но и для вычитания, — сказала Гусеница.

— Я вижу, что вычитаются множества тоже не так, как числа, — заметила Алиса. — Для чисел нуль получается только тогда, когда мы вычитаем из числа такое же число!

— Складываются множества тоже не так, как числа, — сказала Гусеница. — Если, например, к числу пять прибавить какое-то число, может получиться снова пять?

— Конечно, нет! — ответила Алиса.

— А если мы прибавим нуль? — прищурившись, спросила Гусеница и выпустила ровно пять клубов дыма.

— Про нуль я забыла, — призналась Алиса. — Но ведь и с множествами так же: если к любому множеству прибавить пустое множество, получится снова то же самое множество!

— Конечно, — согласилась Гусеница. — А как ты думаешь, что получится, если к множеству всех насекомых прибавить множество всех гусениц?

— Получится... получится снова множество всех насекомых! — воскликнула Алиса. — Ведь все гусеницы — насекомые!

— Но разве множество всех гусениц — пустое? — спросила Гусеница. — Ты же сама видишь, что хотя бы одна гусеница существует!

— Я поняла, — сказала Алиса. — К множеству можно прибавить непустое множество, но получить то же самое множество! Значит, множества действительно складываются не так, как числа...

Беседа становилась всё более интересной, но тут Алиса вспомнила, что она может опоздать на бал.

— Извините, — вежливо сказала она, — но я спешу на бал. А вы хотите попасть на бал? Я могу вас пригласить.

— Что мне там делать? — отозвалась Гусеница. — Ведь я не принадлежу множеству тех, кто умеет танцевать!