Яков Перельман - Веселые задачи. Две сотни головоломок

В 12 часов одна стрелка совпадает с другой. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Рис. 147.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?

В 6 часов, наоборот, стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько, на сколько часовая отошла от числа XII на циферблате (рис. 148)? А может быть, таких моментов бывает несколько за день? Или ни одного?

Рис. 148.

Если вы внимательно наблюдали за часами, то, быть может, вам случалось видеть и обратное расположение стрелок: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа XII (рис. 149) — Когда это бывает?

Рис. 149.

Я взглянул на часы и заметил, что стрелки находятся по обе стороны от цифры VI и отстоят от нее одинаково. В котором часу это было?

Рис. 150.

Часы бьют три, т. е. делают три удара, и пока они бьют, проходят три секунды. За сколько времени часы пробьют семь?

На всякий случай предупреждаю, что эта задача — не шутка и никакой ловушки здесь нет.

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от I до XXIV часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не за 12, а за 24 часа.

Рис. 151.

Такие часы можно в ясные дни использовать как компас.

Каким образом?

Нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определять по ним, хотя бы приблизительно, страны света?

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно он обладает карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:

— А сколько раз в день вы обычно смотрите на свои часы?

— Раз двадцать, вероятно, или около того, — последует ответ.

— Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6000 х 15, т. е. чуть ли не сто тысяч раз. Вы, конечно, знаете и отлично помните вещь, которую видели сто тысяч раз?

— Ну, разумеется!

— Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.

И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.

Он исполняет вашу просьбу, но… изображает цифру шесть в большинстве случает совсем не так, как она обозначена на его часах.

Почему? Ответьте на этот вопрос, не глядя на ваши карманные часы.

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что ваши часы идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти и т. д.

Чем объясняется такой неравномерный ход?

141. Начнем наблюдать за движением стрелок в XII часов. В этот момент одна стрелка покрывает другую. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (она описывает полный круг за 12 ч, а минутная за 1 ч), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры I, сделав 1/ 12долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит у XII — на 1/ 12долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая — 1/ 12круга, т. е. минутная сделала бы на 11/ 12круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/ 12долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько 1/ 12меньше 11/ 12, т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/ 11 ч, т. е. через 60/11 = 11/ 12 мин.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5 5/ 11 мин после часа дня, т. е. в 5 5/ 11 мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 5 5/ 11 мин, т. е. в 2 ч. 10 5/ 11 мин. Следующая — спустя еще 1 час 5 5/ 11 мин, т. е. в 3 ч 16 4/ 11 мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 1 1/ 11× 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.

Вот полный перечень встреч:

1-я встреча — в 1 ч 5 5/ 11мин

2-я —»— в 2» 10 10/ 11 »

3-я —»— в 3» 16 4/ 11»

4-я —»— в 4» 21 9/ 11»

5-я —»— в 5» 27 3/ 11»

6-я —»— в 6» 32 8/ 11»

7-я —»— в 7» 38 2/ 11 »

8-я —»— в 8» 43 7/ 11»

9-я —»— в 9» 39 1/ 11»

10-я —»— в 10» 54 6/ 11»

11-я —»— в 12 ч

142. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга — тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/ 12полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/ 2круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько 1/ 2меньше 11/ 12,т. е. потребуется всего 6/ 11 ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/ 11 ч, или 32 8/ 11 мин. Взгляните на часы в противоположные стороны.