Яков Перельман - Веселые задачи. Две сотни головоломок

Рис. 156. Продольный разрез французского замка.

Необходимое расположение стерженькам придает ключ с соответствующими выступами: достаточно его вставить, чтобы стерженьки заняли то определенное и единственное расположение, которое необходимо, чтобы открыть замок.

Теперь легко понять, что число различных замков этого типа может быть действительно весьма велико. Оно зависит от того, сколькими способами можно разрезать каждый стержень на две части; число это, разумеется, не бесконечно, если принять во внимание ограниченную высоту зубчиков ключа.

Предположите, что каждый стерженек можно разрезать на две части 10 способами, и попробуйте сосчитать, сколько различных французских замков можно при таком условии изготовить?

Задача, которую я вам сейчас предложу, не нова, даже весьма не нова. Она общеизвестна, но именно поэтому я и включил ее в этот сборник головоломок. Ведь книжка моя предназначена не для тех, кто уже знает все общеизвестное, а для тех, кому все это еще предстоит узнать.

Итак, я хочу рассказать вам странную легенду о награде, которую попросил себе древний мудрец Сета у индусского правителя Шерама за изобретенную им шахматную игру. Мудрец просил вознаградить его так: выдать за первое поле шахматной доски 1 пшеничное зерно, за второе поле — 2 зерна, за третье — 4, за четвертое — 8 и т. д., удваивая вознаграждение за каждое следующее поле, пока не будут оплачены все 64 поля доски. Что же касается шахматных фигур, то за них мудрец никакой награды не требовал.

Рис. 157.

Правитель подивился такой скромности и отпустил мудреца, приказав немедленно выдать ему следуемые зерна.

Когда спустя некоторое время правитель осведомился, в точности ли исполнено его приказание, ему в смущении ответили, что требуемая награда не может быть выдана.

— Почему? — спросил правитель.

— Почему? — спросим и мы читателя.

151. Ряд горошин будет гораздо длинее стола. Диаметр горошины варьируется от 1/ 2до 1/ 3см. Если остановиться на первом размере, то в кубике с ребром в 1 см должно умещаться не менее 2 × 2 × 2 = 8 горошин [14] Столько горошин помещается в кубическом сантиметре при рыхлой упаковке; при более же плотной укладке, когда часть горошины располагается в промежутке между соседними, горошин помещается больше. . Следовательно, в стакане емкостью 200 см 3число горошин должно быть не меньше 1600. Расположив их в один ряд, получим цепочку длиной 1/ 2 × 1600 = 800 см, или 8 м — расстояние гораздо длиннее любого стола.

Если исходить из размера горошины 1/ 3 см, то в кубическом сантиметре помещается их не менее 3 × 3 × 3 = 27, а в стакане — не менее 27 × 200 =5400. Длина ряда из 5400 таких горошин равна 1/ 3× 5400 = 1800 см, или 18 м — еще больше, чем в случае крупных горошин.

152. Не только дом, но и иной губернский город (впоследствии — областной) можно было бы окружить расположенными в ряд листьями одного дерева, потому что такой ряд тянулся бы верст на десять! В самом деле: на старом дереве не менее 200–300 тысяч листьев. Если остановиться на числе 250 000 и считать каждый лист шириной 5 см, то ряд получается длиной 1 250 000 см, т. е. 12 500 м, или 12,5 км.

153. Миллион шагов гораздо больше 10 км, больше даже 100 км. Если длина шага примерно равна 3/ 4 м, то 1 000 000 шагов = 750 км. Так как от Москвы до Ленинграда всего 640 км, то, сделав от Москвы миллион шагов, вы отошли бы дальше, чем на расстояние до Ленинграда.

154. В тот же день убедиться в этом школьник не мог, потому что, работая даже круглые сутки без перерыва, он не пересчитал бы и десятой доли всех клеточек. Действительно, в сутках 24 х 60 х 60 = 86 400 сек., а в квадратном метре 1 000 000 мм 2. Понадобится более 11 суток непрерывной работы, чтобы проверить прямым счетом, действительно ли в квадратном метре миллион миллиметровых клеточек. Если же работать по десять часов в сутки, то на подобную проверку уйдет около месяца. Мало у кого достанет терпения выполнить такой счетный подвиг [15] Впрочем, полвека тому назад один английский учитель чистописания выполнил такую работу: он аккуратно расставил в толстой тетради миллион точек, по тысяче в каждой странице. .

155. Оба ответа далеки от истины, потому что столб получился бы во сто раз выше самой высокой горы на земле. Действительно, в кубическом метре миллиард кубических миллиметров (1000 х 1000 х 1000). Поставленные один на другой, они образовали бы столб высотой 1 000 000 000 мм, или 1 000 000 см, или 1000 км!

156. В одном ящике указанных размеров не только поместится все население земного шара, но в нем могло бы поместиться почти втрое больше людей! Легко вычислить, что если 5 человек занимают объем 1 м 3, то 1 800 000 000 человек займут 360 миллионов кубометров. В кубическом же километре 1000 миллионов кубометров — места хватило бы с избытком!

157. Если бы волос был в миллион раз толще, то превосходил бы по ширине не только любую печку или комнату, но и почти любое здание, потому что диаметр его равнялся бы 50 м!

Действительно, умножим ширину волоса, 0,05 мм на 1 000 000. Получим 50 000 мм, или 50 м.

Такую ширину имела бы, между прочим, и каждая точка типографского шрифта этой книги, если бы ее увеличить в поперечнике в миллион раз. А каждая буква имела бы при подобном увеличении более двух верст в высоту!

Эти неожиданные результаты показывают, что миллион мы представляем себе не так отчетливо, как обычно думаем.

158. Число портретов значительно больше тысячи. Сосчитать их можно следующим образом. Обозначим девять частей портретов римскими цифрами I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII и XI; для каждой части имеются 4 полоски, которые мы перенумеруем арабскими цифрами 1, 2, 3, 4.

Возьмем полоску I, 1. К ней можно присоединить полоски II, 1; II, 2; II, 3; II, 4. Всего, следовательно, здесь возможны 4 сочетания.

Но так как первая часть головы может быть представлена четырьмя полосками (I, 1; I, 2; I, 3; I, 4) и каждая из них может быть соединена с частью II четырьмя различными способами, то две верхние части головы — I и II — могут быть соединены 4 × 4 = 16 различными способами.

К каждому из этих 16 сочетаний первых двух частей часть III можно присоединить четырьмя способами (III, 1; III, 2; III, 3; III, 4); следовательно, первые три части физиономии могут быть составлены 16 х 4 = 64 различными способами.

Таким же образом узнаем, что части I, II, III, IV могут быть расположены 64 х 4 = 256 различными способами; части I, II, III, IV, V — 1024 способами; части I, II, III, IV, V, VI — 4096 способами и т. д.; наконец, все девять частей портрета можно соединить