Яков Перельман - Веселые задачи. Две сотни головоломок

4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4,

т. е. 262 144 способами.

Итак, из 9 наших брусков возможно составить не 1000, а больше четверти миллиона различных портретов! Задача весьма поучительна: она объясняет нам, почему так редко встречаются две одинаковые человеческие физиономии. Еще Владимир Мономах в своем «Поучении» изумлялся тому, что при огромном числе людей на свете каждый имеет свое особенное лицо. Но мы сейчас убедились, что если бы человеческое лицо характеризовалось всего 9 чертами, допускающими каждая всего 4 видоизменения, то могло бы существовать более 260 000 разных лиц. В действительности же характерных черт человеческого лица гораздо больше 9, и видоизменяться они могут больше чем 4 способами. Так, при 20 чертах, каждая из которых может применяться на 10 ладов, имеем различных лиц: 10х 10х 10х х 10… х 10… — итого 20 множителей, т. е.

100 000 000 000 000 000 000.

Это во много раз больше, чем людей во всем мире.

159. Рассуждая как и при решении предыдущей задачи, нетрудно сосчитать, что число различных замков равно

10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000.

Каждому из этих 100 000 замков соответствует особый ключ — единственный, которым можно его открыть. Существование ста тысяч различных замков и ключей, конечно, вполне обеспечивает безопасность владельца замка, так как у желающего вкрасться в помещение с помощью подобранного ключа есть только 1 шанс из 100 000 напасть на подходящий ключ.

Наш подсчет примерный: он сделан в предположении, что каждый стерженек замка может быть разделен надвое только 10 способами. В действительности же это можно сделать большим числом способов, а значит, различных вариантов замка существует значительно больше.

160. «Скромная награда» не могла быть выдана потому, что не только в Индии, но и во всем мире нет такого количества зерен, какое она предполагает. Само вычисление затребованной суммы зерен представляет собой нелегкую задачу. В самом деле: требуется сложить ряд чисел

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + и т. д.

Здесь выписаны только первые 8 чисел. Но остается еще 56. Чтобы узнать последнее 64-е число, нужно умножить число 2 само на себя 62 раза. В то время индусы не знали логарифмов, сокращающих подобные вычисления, поэтому они должны были выполнить умножение обычными приемами арифметики. Однако стоит лишь приступить к подсчетам, чтобы ощутить, насколько они утомительны. Правда, можно облегчить себе работу и сэкономить много времени, разбив наши 63 множителя на группы, по 7 двоек, тогда придется перемножить «только» 9 множителей, каждый из которых равен 128 (или же, если хотите, «всего» три множителя, каждый из которых равен произведению 128 х 128 х 128). Но слова «только» и «всего» недаром взяты здесь в кавычки, потому что работы все равно останется предостаточно. Ведь это лишь одно, последнее, 64-е слагаемое; а еще нужно вычислить все предыдущие 63 слагаемых, да кроме того эти числа сложить…

Для тех, кто изучал алгебру и знаком с логарифмами и прогрессиями, выполнение этого расчета — правда, приближенное, с точностью до 100 000-й доли результата — не составило бы никакого труда. Так как я не могу предполагать у читателей таких познаний из алгебры, а с другой стороны, не собираюсь засадить их за многочасовые выкладки, то укажу простой способ хотя бы грубо оценить истинные размеры «скромной награды» индусского мудреца.

Продолжив ряд

2, 4, 8,16, 32, 64 и т. д.

до его 10-го члена, получим 1024. Так как мы стремимся определить, как велико последнее слагаемое лишь приблизительно, то откинем в числе 1024 24 единицы, чтобы округлить результат до 1000. Если первые десять двоек при перемножении дали около 1000, то столько же дает и умножение следующих двоек, а также дальнейших групп из 10 двоек. Всех множителей-двоек у нас 63, т. е. шесть групп по 10 и еще седьмая группа из трех двоек. Значит, число зерен, причитающееся изобретателю за последнее, 64-е поле шахматной доски должно приблизительно равняться

1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × (2 × 2 × 2) = 8 000 000 000 000 000 000

Восемь квинтиллионов зерен — вот примерная величина последнего слагаемого! Чтобы вычислить (приблизительно) всю сумму, обратим внимание на поучительную особенность ряда

1,2, 4, 8,16, 32, 64, 128 и т. д.

Легко заметить, что каждое число в нем равно сумме всех предыдущих, увеличенной на 1. Например:

8 = (1 + 2 + 4) + 1; 16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1;

32 = (1 + 2 + 4 + 8 +16) +1.

Понятно, что и последнее, 64-е число этого ряда равно сумме 63 предыдущих плюс 1. Но мы уже знаем, что это последнее число приблизительно равно 8 квинтиллионам. Следовательно, сумма всех предыдущих чисел приблизительно равна 8 квинтиллионам, а общее число всех зерен, причитающихся изобретателю, приблизительно равно

16 000 000 000 000 000 000.

Рис. 157.

Этот результат, однако, заведомо меньше истинного — вспомните, что в каждом из 6 множителей мы откидывали 24 единицы (брали ровно 1000 вместо 1024). Точное вычисление дало бы результат

18 446 744 073 709 551 515.

Чтобы помочь вам ощутить «огромность» этого числа, замечу, что в кубическом метре (80-ведерной бочке) помещается 15 миллионов пшеничных зерен. «Скромная награда» должна была занять объем около 12 000 000 000 000 кубических метров, или 12 000 кубических километров! Далее. Поверхность земного шара — всех его материков и океанов — равна 500 миллиардам квадратных метров. Поэтому, если рассыпать наше число зерен ровным слоем по всему миру, он имел бы толщину 12: 500 = 0,024 м, или примерно 1/ 4 см. Будь земной шар целиком превращен в сплошное пшеничное поле (для чего потребовалось бы осушить океаны, растопить полярные льды и оросить все пустыни), то урожай с него целиком пошел бы в награду изобретателю шахматной игры. В заключение предлагаю читателю самому вычислить, цепочка какой длины получилась бы, если все эти зерна выложить в один ряд. На всякий случай сообщаю, что от Земли до Солнца 150 000 000 км, хотя не думаю, что с такой цепью зерен вы останетесь в пределах Солнечной системы.

— Чем вас так заинтересовала эта муха на кристалле?

— Своим странным поведением: она ходит по кристаллу, право, не без системы. Посмотрите, она путешествует только по ребрам и не ступает по граням. Что за охота ей ходить по острым ребрам, когда рядом сколько угодно плоских мест?

— Мне кажется, дело довольно просто. Чем склеены у вас грани кристалла?

— Вы подозреваете, что в клее есть что-то сладкое, привлекающее муху? Кажется, вы правы; она действительно вылизывает хоботком ребра кристалла. Так вот почему она медленно и систематически переходит с одного ребра на другое!