В Левшин - Искатели необычайных автографов

Потом я увлекся числовыми треугольниками. Натолкнул меня на это увлечение арифметический треугольник Паскаля. Все числа его связаны между собой железными закономерностями, и это настолько меня поразило, что я стал выдумывать свои собственные числовые треугольники. При этом у меня не было никакой практической задачи, никакой цели. Просто-напросто я играл числами. Но потом, много лет спустя, какой-то из моих треугольников неожиданно пригодился для решения одного из видов дифференциальных уравнений. Другой, изобретенный мною, треугольник оказался удобным подспорьем при решении задачи о колебаниях коленчатого вала.

- Вот даже как! - произнес Фило с невольной робостью. - Остается пожалеть, что вы забросили это интересное занятие...

- Забросил?! - Мате демонически расхохотался. - Так знайте же: не далее чем вчера у меня появился новый числовой треугольник. Желаете убедиться?

- Сделайте одолжение!

- Тогда смотрите сюда. - Мате указал на блокнот. - Перед вами ряд чисел: 1 2 5 13 34 89. Вам он о чем-нибудь говорит?

Фило наморщил лоб.

- Вроде бы что-то знакомое, и в то же время не совсем...

- Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите также внимание на то, что этот частичный ряд тоже имеет свою собственную закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме всех предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено...

- Ну-ка, проверим! - сказал Фило. - Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 x 2) = 34. Но где же все-таки треугольник? Я его не вижу!

- Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:

1 2 5 13 34 89

1 3 8 21 55

- Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!

Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда.

Далее, составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:

1 2 5 13 34 89

1 3 8 21 55

2 5 13 34

3 8 21

5 13

8

- Вы, конечно, понимаете, - добавил Мате, - что треугольник может быть расширен и удлинен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги, каждый раз получая полный ряд чисел Фибоначчи.

Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.

- А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, - признался Фило.

- Погодите, я еще не кончил, - остановил его Мате. - Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.

- Зачем?

- Сейчас поймете.

Мате выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел.

1 1

1 2 3

2 3 5 10

3 5 8 13 29

5 8 13 21 34 81

8 13 21 34 55 89 220

13 21 34 55 89 144 233 589

21 34 55 89 144 233 377 610 1563

- Во-первых, обратите внимание на то, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, - сказал он.

- Обратил, - подтвердил Фило. - А во-вторых?

- Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно, в свою очередь, представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы - ведь она как-никак тоже число простое.

1 = 1 (1 слагаемое)

3 = 3 (1 слагаемое)

10=3+7 (2 слагаемых)

29 = 3+7+19 (3 слагаемых)

81 = 3+7+19+23+29 (5 слагаемых)

220 = 3+7+19+23+29+31+37+71 (8 слагаемых)

589 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+79+83+97 (13 слагаемых)

1563 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+ 79+83+97+101+103+107+109+113+131+ 137 + 173 (21 слагаемое)

- Чуете? - спросил Мате, закончив таблицу и торжествующе посмеиваясь.

Но Фило лишь виновато хлопал глазами.

- Эх вы!- пристыдил его Мате. - Да тут и ребенку ясно, что количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.

- Но это же замечательное открытие! - бурно обрадовался Фило.

- До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.

- Так найдите общее доказательство.

- Только и всего? - Мате язвительно осклабился. - Попробуйте-ка сами!

- Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, отшутился Фило. - К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.

- Наоборот! - энергично запротестовал Мате. - Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она чревата самыми непредвиденными открытиями, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко оцениваю этот удивительный числовой ряд. А теперь...

Он засунул руку в карман, позвякал там медяшками и без всякого видимого перехода предложил Фило отгадать, сколько монет у него в кармане. Фило обиделся: за кого его принимают? Факир он, что ли?

- Ладно! - смилостивился Мате. - Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.

- Так бы сразу и сказали! Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет - через у. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5х, а трехкопеечных - на 3у. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5х + 3у = 49.

- Ставлю вам пять с плюсом, - сказал Мате. - Уравнение отличное. Но как вы его решите?

Фило призадумался. Попробуйте-ка решить одно уравнение с двумя неизвестными!

- Не беда, - утешил его Мате. - Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте попробуем подобрать эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: х = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 х 1+ 3у = 49. Отсюда 3у = 44, а у=44/3

- Простите, 44/3 не целое число...

- Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 х 2 + 3у = 49. Отсюда 3у = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.

- Браво! - ликовал Фило. - Задача решена!

-Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?

- Сейчас узнаем. 5 х 5 + 3у = 49. Отсюда 2у = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.

- Как видите.

- Поискать, что ли, другие?

И Фило принялся за поиски. Перебрав варианты х= 3, 4, 6 и 7, он убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум прибавилось еще одно, третье решение. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило собрался было подставить х = 10, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49. Значит, дальнейшие поиски бессмысленны.