Компьютерра - Журнал «Компьютерра» № 33 от 11 сентября 2007 года

С использованием разложения по гросс-единицам Сергеев описывает этот процесс (и его результат) иначе. На n-м шаге процесса имеется 2n отрезков, каждый длиной 3-n. Стало быть, после

шагов бесконечно большое количество отрезков будет равно (2

), а их общая длина выразится бесконечно малым числом ((2/3)

). Эти выражения – точная характеристика фрактального множества, которая изменится при других параметрах порождающего процесса (если топить больше, или меньше, да еще и в других местах). Разумеется, аналогичные характеристики есть и в классике – например, фрактальная размерность, которая в данном случае равна log(2)/log(3). Но в классике лишен, конечно, смысла вопрос, насколько отличаются результаты последней и предпоследней из некоторого бесконечного числа итераций. Через новые числа это легко выразить: так, на шаге

– 1 общая длина отрезков равна (2/3) (

– 1).

Однако в новой системе невозможно пересчитать все полученные отрезки: ведь их будет (2

), то есть строго больше, чем

А мы помним постулат, что любой процесс, в том числе и процесс последовательного счета, не может использовать более

шагов. Зато здесь можно точно подсчитать число точек (!) в множестве, полученном после бесконечного числа шагов. Дело в том, что само понятие точки теперь сильно отличается от классического. "Как только мы выбрали символы для записи чисел, выражающих координаты точек, – поясняет Ярослав Сергеев, – мы определили понятие «точка» и можем легко сосчитать число этих точек. Более мощная система записи (например, система (1)) позволит нам увидеть больше точек, а более слабая (традиционная) – меньше".

Обратимся, наконец, к давно обещанным мерцающим фракталам. Мерцание заключается в том, что фрактальный процесс генерирует не одно, а несколько множеств. В данном случае их два, а процесс задан схемой:

Начав с синего квадрата, получаем на последовательных шагах такую динамику двух зависимых друг от друга множеств (см. схему внизу).

На четных шагах мы видим фигуру из синих квадратов, на нечетных – другую, составленную из красных треугольников. Описание динамики этого процесса в новой арифметике состоит в подсчете площади каждой фигуры на любом из шагов в процессе ее построения. Например, возьмем шаг

/2 – это четное бесконечное число, поэтому фигура в этот момент состоит из 2(3

/4) синих квадратов с общей бесконечно малой площадью 2(-

/4). На следующем шаге номер (

/2)+1 площадь фигуры из красных треугольников будет равна 2-

/4+1, и т. д. Вот так бесконечные числа описывают динамику этого мерцающего процесса – казалось бы, не имеющего предела в классическом смысле, подобно ряду 1, -1, 1, -1, …, 1. [Впрочем, аналогия тут не совсем полная.]

В заключение – скриншот "калькулятора бесконечности", построенного на основе уже работающего софтверного симулятора "компьютера бесконечности". Может быть, когда-нибудь мы увидим "компьютер бесконечности", реализованный в железе. Но это зависит от того, станет ли новая арифметика бесконечных чисел незаменимым инструментом решения сложных задач.

Ну а совсем в заключение – просим не рассматривать эту публикацию как сигнал о нашей особой заинтересованности в сочинениях именно на такие, фундаментальные и в то же время экзотические темы. Впрочем, независимо от тематики, мы пишем только о том, что прошло апробацию в солидной научной периодике, на серьезных конференциях и семинарах. Увлекательная работа Ярослава Сергеева именно такова.

Ярослав Серегеев занимает должность "полного профессора", учрежденную в Университете Калабрии (Италия) для приглашения выдающихся ученых. Он также профессор Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, доктор физико-математических наук, специалист по численному анализу, параллельным вычислениям, глобальной оптимизации, автор более 150 научных публикаций, среди которых 50 статей в международных журналах и три книги. Сергеев – один из организаторов и координатор Российско-Итальянского университета, действующего при Нижегородском университете.

Арифметике бесконечностей посвящен ряд его недавних работ, в том числе статья "Blinking fractals and their quantitative analysis" (Chaos, Solitons & Fractals, 33(1), 50—75, 2007), использованная в этом материале. См. также www.info.deis.unical.it/~yaro/arithmetic.html, www.grossone.com.

Автор: Анатолий Кричевец

Как полагает Леонид Левкович, ответ на вопрос об эффективности предложенной Ярославом Сергеевым принципиально новой числовой системы даст история. Разумеется, история всех нас рассудит, но обязаны ли мы с нею соглашаться?

Идеи Сергеева кажутся мне по научным меркам вполне добротными, интересными и уже неплохо проработанными, но реакция сообщества на них, увы, довольно слабая (пока?). О чем это говорит?

Сеймур Пейперт, известный в компьютерном мире прошлого века прежде всего как создатель "черепашьей графики", назвал некоторые суждения истории феноменом «QWERT» – по буквам первого ряда на латинской клавиатуре пишущей машинки. Никто не может проверить, является ли такое «разложение» букв по клавишам в каком-либо смысле оптимальным. Эту проверку можно было бы устроить только в рамках альтернативной истории, где другая система была бы столь же привычной, как наша «QWERT», и столь же обеспеченной с детства доступными предметами окружающей среды. Тогда, если бы мы сравнили скорость, количество ошибок и тому подобные показатели уравненных по важным качествам групп из культур «QWERT» и, скажем, «TREWQ», в нашем лице история сделала бы (возможно, впервые) обоснованное суждение. В настоящей же ситуации история только зафиксировала необратимый культурный выбор, один из тысяч подобных [С. Пейперт известен также написанной в соавторстве с М. Минским книгой «Перцептроны» (М.:, Мир, 1971), в которой был подвергнут разгрому нейросетевой (в современных терминах) подход к моделированию человеческого восприятия].