Олег Деревенец - Песни о Паскале

Табл. 11 – Изображения чисел в различных системах счисления

Итак, мы познакомились с тремя позиционными системами счислений: десятичной, двоичной и шестнадцатеричной. Существуют ли другие системы? Конечно! Во всех позиционных системах вес цифры определяется её положением в числе, сравните.

2048 = 2• 10 3+ 0• 10 2+ 4• 10 1+ 8• 10 0- десятичная;

12 = 1100 2= 1• 2 3+ 1• 2 2+ 0• 2 1+ 0• 1 0- двоичная;

4000 = $FA0 = F• 16 2+ A• 16 1+ 0• 16 0- шестнадцатеричная.

Число, на котором построена система, называют её основанием. Можно выдумать столько систем счисления, сколько существует чисел, то есть, бесконечно много. Пока нам достаточно тех, что придуманы. А если с других планет прилетят существа с семью пальцами на руках? Для них, вероятно, «родной» будет семеричная система, и мы должны быть готовы к этому!

Так мы подошли к задаче по настоящему серьезной: изобразить число в некоторой системе счисления (основания систем ограничим числами от 2 до 16).

Преобразуя числа в десятичную систему, мы «отгрызали» цифры, начиная с младших разрядов, операциями деления и получения остатка. Точно так же преобразуют числа и в другие системы, только откалывают куски иного размера. Поскольку в двоичной системе есть только две цифры, то для неё младшая цифра отсекается операцией MOD 2, а старшая часть – операцией DIV 2. Для шестнадцатеричной системы – соответственно операциями MOD 16 и DIV 16. Отсюда следует правило: для преобразования числа в N–ричную систему счисления младшую цифру отделяют операцией MOD N, а старшую часть числа – операцией DIV N.

В программе «P_47_1» функция ConvertFromNumber – «преобразовать из числа» – делает именно то, о чем сказано выше. Обратите внимание на строковую константу.

const CDigits : string = '0123456789ABCDEF';

Она служит для изящного преобразования чисел 0–15 в шестнадцатеричные цифры «0»–«F». Константы, для которых явно указан тип, называют типизированными, – это пример такой константы.

{ P_47_1 – Преобразование в произвольную систему счисления }

{ Функция преобразования десятичного числа в другие системы счисления }

function ConvertFromNumber(aBase, aNumber : integer): string;

const CDigits : string = '0123456789ABCDEF';

var n : integer; c : char; S : string;

begin

S:=''; { Накопитель цифр }

repeat

n:= aNumber mod aBase; { остаток от деления на основание }

aNumber:= aNumber div aBase; { частное от деления на основание }

c:= CDigits[1+n]; { выбираем цифру из строки }

S:= c + S; { вставляем цифру в результат }

until aNumber=0;

ConvertFromNumber:= S; { готово! }

end;

var B, N : integer; { B – основание системы, N – число }

begin {=== Главная программа ===}

repeat

Write('Основание системы= '); Readln(B);

if B in [2..16] then begin

Write('Преобразуемое число= '); Readln(N);

Writeln(ConvertFromNumber(B, N));

end

until not (B in [2..16]);

end.

Эта простая программа подарит вам счастье наблюдать знакомые десятичные числа в экзотических системах счисления, например, в троичной или пятеричной.

Теперь займемся обратной задачей: пусть дана строка символов, изображающая некое число в известной системе счисления; требуется преобразовать эту строку в число и напечатать в десятичной системе.

Сборка числа из десятичных цифр нами освоена. Она выполнялась умножением накопленной суммы на десять с прибавлением очередной цифры, начиная со старшей. Надо ли объяснять, что сборка в других системах выполняется точно так же? Только умножать будем не на десять, а на основание системы счисления. В следующей ниже программе сборка выполняется функцией ConvertToNumber – «преобразовать в число».

{ P_47_2 – Преобразование из других систем счисления }

function ConvertToNumber(aBase: integer; aNumber: string): integer;

var i,n, Sum : integer;

c : char;

begin

Sum:=0; { Накопитель результата }

for i:=1 to Length(aNumber) do begin

c:= Upcase (aNumber[i]);

if c in ['0'..'9']

then n:= Ord(c)-Ord('0') {0..9}

else n:= 10+Ord(c)-Ord('A') ; {10..15}

Sum:= aBase*Sum + n; { Накопление суммы }

end;

ConvertToNumber:= Sum; { готово! }

end;

var B : integer; { Основание системы }

N : string; { Изображение числа в виде строки }

begin {=== Главная программа ===}

repeat

Write('Основание системы= '); Readln(B);

if B in [2..16] then begin

Write('Преобразуемое число= '); Readln(N);

Writeln(ConvertToNumber(B, N));

end

until not (B in [2..16]);

end.

Как обычно, здесь выделены операторы, стоящие внимания. Функция UpCase преобразует строчные латинские буквы в заглавные. Ведь шестнадцатеричные цифры от «A» до «F» могут быть введены пользователем в любом регистре, а последующие операторы преобразования цифры в число предполагают заглавные буквы – вот потому и понадобилась функция UpCase.

Теперь о превращении символов в числа. Цифры от «0» до «9» преобразуются вычитанием из кода цифры кода символа «0». Для цифр от «A» до «F» после вычитания кода буквы «A» к разности прибавляем число 10. Все сказанное относится к следующему условному оператору.

if c in ['0'..'9']

then n:= Ord(c)- Ord('0') {0..9}

else n:= 10 + Ord(c)- Ord('A'); {10..15}

Вот, пожалуй, и вся премудрость. Испытание этой программы убедит вас в том, что волшебства случаются не только в сказках!

• Способ изображения чисел посредством знаков называется системой счисления.

• Одно и то же число может быть изображено в разных системах счисления.

• Все современные системы счисления – позиционные. Это значит, что вес цифры определяется позицией в числе.