Е. Миркес - Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Пусть дана таблица данных, содержащая N записей, каждая из которых содержит M+1 поле. Обозначим значение i- о поля j- й записи через x i j , где i =0,…, M , j =1,…, N . Обозначим через V ( A,S ) задачник, в котором ответы заданы в полях с номерами i ∈ A , а входные данные содржатся в полях с номерами i ∈ S . Множество А будем называть множеством ответов, а множество S — множеством входных данных. Минимальное множество входных сигналов, полученное при обучении сети на задачнике V ( A,S ), обозначим через F ( A,S ). В случае, когда сеть не удалось обучить решению задачи будем считать, что F ( A,S )=∅. Число элементов в множестве A будем обозначать через | A |. Через T ( A,S ) будем обозначать сеть, обученную решать задачу предсказания всех полей (ответов), номера которых содержатся в множестве A , на основе входных сигналов, номера которых содержатся в множестве S .

Задача. Необходимо построить набор входных параметров, который позволяет надежно решать задачу V ({0},{1,…, M }).

Решение задачи будем называть множеством повышенной надежности, и обозачать S •′.

Для решения этой задачи необходимо определит набор параметров, дублирующих минимальный набор S 1= F ({0},{1,…, M }). Возможно несколько подходов к определению дублирующего набора. В следующих разделах рассмотрены некоторые из них.

Возможно два типа дублей — набор входных сигналов, способный заменить определенный входной сигнал или множество сигналов при получении ответа первоначальной задачи, и набор входных сигналов, позволяющий вычислить дублируемый сигнал (множество дублируемых сигналов). Дубли первого типа будем называть прямыми, а дубли второго типа — косвенными.

Возможна другая классификация, не зависящая от ранее рассмотренной. Дубли первого и второго рода будем различать по объекту дублирования. Дубль первого рода дублирует все множество вцелом, а дубль второго рода дублирует конкретный сигнал.

Очевидно, что возможны все четыре варианта дублей: прямой первого рода, косвенный первого рода, прямой второго рода и косвенный второго рода. В следующих разделах будут описаны алгоритмы получения дублей всех вышеперечисленных видов.

Для нахождения прямого дубля первого рода требуется найти такое множество сигналов D что существует сеть T ({0}, D ) и S 1∩ D =∅. Решение этой задачи очевидно. Удалим из множества входных сигналов те их них, которые вошли в первоначальное минимальное множество входных сигналов S 1. Найдем минимальное множествовходных сигналов среди оставшихся. Найденное множество и будет искомым дублем.

Формально описанную выше процедуру можно записать следующей формулой:

D= F ({0},{1,…, M }\ S 1).

Множество повышенной надежности в этом случае можно записать в следующем виде:

Очевидно, что последнюю формулу можно обобщить, исключив из первоначального множества входных сигналов найденное ранее множество повышенной надежности и попытавшись найти минимальное множество среди оставшихся входных сигналов. С другой стороны, для многих нейросетевых задач прямых дублей первого рода не существует. Примером может служить одна из классических тестовых задач — задача о предсказании результатов выборов президента США.

Для нахождения косвенного дубля первого рода необходимо найти такое множество входных сигналов D что существует сеть T ( S 1, D ) и S 1∩ D =∅. Другими словами, среди множества входных сигналов, не включающем начальное минимальное множество, нужно найти такие входные сигналы, по которым можно восстановит значения входных сигналов начального минимального множества. Формально описанную выше процедуру можно записать следующей формулой:

D = F ( S 1,{1,…, M }\ S 1).

Множество повышенной надежности в этом случае можно записать в следующем виде:

Эта формула так же допускает обобщение. Однако, следует заметить, что косвенные дубли первого рода встречаются еще реже чем прямые дубли первого рода. Соотношение между косвенным и прямым дублем первого рода описываются следующей теоремой.

Теорема 1. Если множество D является косвенным дублем первого рода, то оно является и прямым дублем первого рода.

Доказательство. Построим нейронную сеть, состоящую из последовательно соединенных сетей T ( S 1, D ) и T ({0}, S 1), как показано на рис. 6. Очевидно, что на выходе первой сети будут получены те сигналы, которые, будучи поданы на вход второй сети, приведут к получению на выходе второй сети правильного ответа. Таким образом сеть, полученная в результате объединения двух сетей T ( S 1, D ) и T ({0}, S 1), является сетью T ({0}, D ). Что и требовалось доказать.

Рис. 6. Сеть для получения ответа из косвенного дубля.

Следствие. Если у множества S 1нет прямого дубля первого рода, то у нее нет и косвенного дубля первого рода

Доказательство. Пусть это не так. Тогда существует косвенный дубль первого рода. Но по теореме 1 он является и прямым дублем первого рода, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает следствие.

Перенумеруем входные сигналы из множества S 1={ i 1,…, i k }, k =| S 1|. Множество сигналов, являющееся прямым дублем второго рода для сигнала можно получить найдя минимальное множество для получения ответа, если из исходного множества входных сигналов исключен сигнал . Таким образом прямые дубли второго рода получаются следующим образом:

D j = F ({0},{1,…, M }\{ i j }).

Полный прямой дубль второго рода получается объединением всех дублей для отдельных сигналов

Множество повышенной надежности для прямого дубля второго рода можно записать в следующем виде:

Заметим, что при построении прямого дубля второго рода не требовалось отсутствия в нем всех элементов множества S 1, как это было при построении прямого дубля первого рода. Такое снижение требований приводит к тому, что прямые дубли второго рода встречаются чаще, чем прямые дубли первого рода. Более того, прямой дубль первого рода очевидно является прямым дублем второго рода. Более точное соотношение между прямыми дублями первого и второго родов дает следующая теорема.

Теорема 2.Полный прямой дубль второго рода является прямым дублем первого рода тогда, и только тогда, когда