А. Григорьев - О чём не пишут в книгах по Delphi

Если восьмой бит содержит единицу (так установлено по умолчанию), то десять байтов внутренних регистров сопроцессора будут задействованы полностью, и мы получим "полноценный" Extended. Если же этот бит равен нулю, то все определяется значением бита 9. Если он равен единице, то используется только 53 разряда мантиссы (остальные всегда равны нулю). Если же этот бит равен нулю — только 24 разряда мантиссы. Это увеличивает скорость вычислений, но уменьшает точность. Другими словами, точность работы сопроцессора может быть понижена до типа Doubleили даже Single. Но это касается только мантиссы, экспонента в любом случае будет содержать 15 бит, так что диапазон типа Extendedсохраняется в любом случае.

Для работы с управляющим словом сопроцессора в модуле Systemописана переменная Default8087CWтипа Wordи процедура Set8087CW(CW: Word). При запуске программы в переменную Default8087CW записываетсято управляющее слово, которое установила система при запуске программы. Функция Set8087CWодновременно записывает новое значение в управляющее слово и в переменную Default8087CW.

Такое поведение этой функции не всегда удобно — иногда бывает нужно сохранить старое значение переменной Default8087CW(впрочем, это несложно сделать, заведя дополнительную переменную). С другой стороны, если значение управляющею слова изменить, не используя Set8087CW(а в дальнейшем мы увидим, что такие изменения могут происходить помимо нашей воли), то с помощью функции Default8087CWпросто нет возможности узнать текущее значение управляющего слова. В Delphi 6 и выше появилась функция Get8087CW, позволяющая узнать значение именно контрольного слова, а не переменной Default8087CW. В более ранних версиях существовал единственный способ получить значение этого слова — встроенный в Delphi ассемблер.

Итак, установить значение управляющего слова можно с помощью команды FLDCW, прочитать с помощью FNSTCW. Обе эти команды имеют один аргумент — переменную типа Word. Чтобы, например, установить 53-значную точность, не изменив при этом другие биты управляющего слова нужно выполнить такую последовательность команд:

asm

FNSTCW MyCW

AND MyCW, 0FC00h

OR MyCW, 200h

FLDCW MyCW

end;

Начиная с Delphi 6, в модуле Mathпоявилась еще одна функция, позволяющая устанавливать точность FPU без манипуляции с отдельными битами управляющего слова — SetPrecisionMode. В зависимости от значения аргумента ( pmSingle, pmDoubleили pmExtended) она устанавливает требуемую точность. Современные сопроцессоры обрабатывают числа с такой скоростью, что при обычных вычислениях вряд ли может возникнуть необходимость в ускорении за счет точности — выигрыш будет ничтожен. Эта возможность необходима, в основном, в тех случаях, когда вычисления с плавающей точкой составляют значительную часть программы, а высокая точность не имеет принципиального значения (например, в 3D-играх). Однако забывать об этой особенности работы сопроцессора не следует, потому что она может преподнести один неприятный сюрприз, о котором чуть позже.

Из школы мы все помним, что не каждое число может быть записано конечной десятичной дробью. Бесконечные дроби бывают двух видов: периодичные и непериодичные. Примером непериодичной дроби является число π, периодичной — число ⅓ или любая другая простая дробь, не представимая в виде конечной десятичной дроби.

Напомним, что периодичные дроби — это такие дроби которые содержат бесконечно повторяющуюся последовательность цифр. Например, 1/9=0,11111..., 1/12=0,08333333..., 1/7=0,142857142857... Такие числа записывают со скобками — в них заключают повторяющуюся часть. Те же числа должны быть записаны так: 1/9=0,1(1), 1/12=0,08(3), 1/7=0,1(428571)

Вопрос о периодичности или непериодичности числа нас сейчас не интересует, нам достаточно знать, что не все числа можно представить в виде конечной десятичной дроби. При работе с такими числами мы всегда имеем не точное, а приближенное значение, поэтому ответ получается тоже приближенным. Это нужно учитывать в своих расчетах.

До сих пор мы говорили только о десятичных бесконечных дробях. Но двоичные дроби тоже могут быть бесконечными. Даже более того, любое число, выражаемое конечной двоичной дробью, может быть также выражено и десятичной конечной дробью. Но существуют числа (например, 1/5), которые выражаются конечной десятичной дробью, но не могут быть выражены конечной двоичной дробью. Это и есть наиболее важное отличие аппаратной реализации вещественных чисел от наших интуитивных представлений. Теперь у нас достаточно теоретических знаний, чтобы перейти к рассмотрению конкретных примеров — "подводных камней", приготовленных вещественными числами.

Самый первый "подводный камень", на котором спотыкаются новички — это то, что вещественная переменная может получить не совсем то значение, которое ей присвоено. Рассмотрим это на простом примере (листинг 3.9, примеp WrongValue на компакт-диске).

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

R: Single;

begin

R := 0.1;

Label1.Caption = FloatToStr(F);

end;

Что мы увидим, когда нажмем кнопку? Разумеется, не 0.1, иначе не было бы смысла писать этот пример. Мы увидим 0.100000001490116, т.е. расхождение в девятой значащей цифре. Из справки по Delphi мы знаем, что точность типа Single — 7–8 десятичных разряда, так что нас, по крайнем мере, никто не обманывает. В чем же причина? Просто число 0,1 не представимо в виде конечной двоичной дроби, оно равно 0,0(0011). И эта бесконечная двоичная дробь обрубается на 24-х знаках; мы получаем не 0,1, а некоторое приближенное число (какое именно — см. выше). А если мы присвоим переменной R не 0.1, а 0.5? Тогда мы получим на экране 0.5, потому что 0.5 предоставляется в виде конечной двоичной дроби. Немного поэкспериментировав с различными числами, мы заметим, что точно представляются те числа, которые выражаются в виде m /2 n , где m , n — некоторые целые числа (разумеется, n не должно превышать 24, а то нам не хватит точности типа Single). В качестве упражнения предлагаем доказать, что любое целое число, для записи которого хватает 24-х двоичных разряда, может быть точно передано типом Single.

Если в этом примере изменить тип переменной Rс Singleна Doubleили на Extended, на экран будет выведено 0.1. Но это не значит, что в переменную будет записано ровно 0.1 — это просто особенности работы функции FloatToStr, которая не учитывает столь малую разницу между 0,1 и переданным ей числом.