Иван Братко - Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта

связи( Дер),

not имеетцикл( Дер).

связи( Дер) :-

not ( вершина( А, Дер), вершина( В, Дер),

not путь( А, А, Дер, _ ) ).

имеетцикл( Дер) :-

смеж( А, В, Дер),

путь( А, В, Дер, [А, X, Y | _ ). % Длина пути > 1

накрывает( Дер, Граф) :-

not ( вершина( А, Граф), not вершина( А, Дер) ).

подмнож( [], []).

подмнож( [ X | L], S) :-

подмнож( L, L1),

( S = L1; S = [ X | L1] ).

Рис. 9.23. Построение остовного дерева: "декларативный подход".

Отношения вершинаи смежсм. на рис. 9. 22.

9.15. Рассмотрите остовные деревья в случае, когда каждому ребру графа приписана его стоимость. Пусть стоимость остовного дерева определена как сумма стоимостей составляющих его ребер. Напишите программу построения для заданного графа его остовного дерева минимальной стоимости.

В данной главе мы изучали реализацию на Прологе некоторых часто используемых структур данных и соответствующих операций над ними. В том числе

• Списки:

варианты представления списков

сортировка списков:

сортировка методом "пузырька"

сортировка со вставками

быстрая сортировка

эффективность этих процедур

• Представление множеств двоичными деревьями и двоичными справочниками:

поиск элемента в дереве

добавление элемента

удаление элемента

добавление в качестве листа или корня

сбалансированность деревьев и его связь с эффективностью этих операций

отображение деревьев

• Графы:

представление графов

поиск пути в графе

построение остовного дерева

В этой главе мы занимались такими важными темами, как сортировка и работа со структурами данных для представления множеств. Общее описание структур данных, а также алгоритмов, запрограммированных в данной главе, можно найти, например, в Aho, Hopcroft and Ullman (1974, 1983) или Baase (1978). В литературе рассматривается также поведение этих алгоритмов, особенно их временная сложность. Хороший и краткий обзор соответствующих алгоритмов и результатов их математического анализа можно найти в Gonnet (1984).

Прологовская программа для внесения нового элемента на произвольный уровень дерева (раздел 9.3) была впервые показана автору М. Ван Эмденом (при личном общении).

Aho А. V., Hopcroft J. E. and Ullman J. D. (1974). The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley. [Имеется перевод: Ахо А., Хопкрофт Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. Пер. с англ. — М.: Мир, 1979.]

Aho А. V., Hopcroft J. E. and Ullman J. D. (1983). Data Structures and Algorithms. Addison-Wesley.

Baase S. (1978). Computer Algorithms. Addison-Wesley.

Gonnet G. H. (1984). Handbook of Algorithms and Data Structures. Addison-Wesley.

В данной главе мы рассмотрим усовершенствованные методы представления множеств при помощи деревьев. Основная идея состоит в том, чтобы поддерживать сбалансированности или приближенную сбалансированность дерева, с тем чтобы избежать вырождения его в список. Механизмы балансировки деревьев гарантируют, даже в худшем случае, относительно быстрый доступ к элементам данных, хранящихся в дереве, при логарифмическом порядке времени доступа. В этой главе изложено два таких механизма: двоично-троичные (кратко, 2-3) деревья и AVL-деревья. (Для изучения остальных глав понимание данной главы не обязательно.)

Двоичное дерево называют хорошо сбалансированным, если оба его поддерева имеют примерно одинаковую глубину (или размер) и сами сбалансированы. Глубина сбалансированного дерева приближенно равна log n , где n — число вершин дерева. Время, необходимое для вычислений, производимых отношениями внутри, добавитьи удалитьнад двоичными справочниками, пропорционально глубине дерева. Таким образом, в случае двоичных справочников это время имеет порядок log n . Логарифмический рост сложности алгоритма, проверяющего принадлежность элемента множеству, — это определенное достижение по сравнению со списковым представлением, поскольку в последнем случае мы имеем линейный рост сложности с ростом размера множества. Однако плохая сбалансированность дерева ведет к деградации производительности алгоритмов, работающие со справочником. В крайнем случае, двоичный справочник вырождается в список, как показано на рис. 10.1. Форма справочника зависит от той последовательности, а которой в всего записываются элементы данных. В лучшей случае мы получаем хорошую балансировку и производительность порядка log n , а в худшем — производительность будет порядка n . Анализ показывает, что в среднем сложность алгоритмов внутри, добавитьи удалитьсохраняет порядок log n в допущении, что все возможные входные последовательности равновероятны. Таким образом, средняя производительность, к счастью, оказывается ближе к лучшему случаю, чек к худшему. Существует, однако, несколько довольно простых механизмов, которые поддерживают хорошую сбалансированность дерева, вне зависимости от входной последовательности, формирующей дерево. Эти механизмы гарантируют производительность алгоритмов внутри, добавитьи удалитьпорядка log n даже в худшем случае . Один из этих механизмов - двоично-троичные деревья (кратко, 2-3 деревья), а другой — AVL-деревья.

Рис. 10.1. Полностью разбалансированный двоичный справочник. Производительность его та же, что и у списка.

2-3 дерево определяется следующим образом: оно или пусто, или состоит из единственной вершины, или удовлетворяет следующим условиям:

• каждая внутренняя вершина имеет две или три дочерних вершины, и

• все листья дерева находятся на одном и том же уровне.

Двоично-троичным (2-3) справочником называется 2-3 дерево, все элементы данных которого хранятся в листьях и упорядочены слева направо. На рис. 10.2 показан пример. Внутренние вершины содержат метки, равные минимальным элементам тех или иных своих поддеревьев, в соответствии со следующими правилами:

• если внутренняя вершина имеет два поддерева, то она содержит минимальный элемент второго из них;

• если внутренняя вершина имеет три поддерева, то она содержит минимальные элементы второго и третьего поддеревьев.

Рис. 10.2. 2-3 справочник. Отмеченный путь показывает процесс поиска элемента 10.

При поиске элемента X в 2-3 справочнике мы начинаем с корня и двигаемся в направлении самого нижнего уровня, руководствуясь при этом метками внутренних вершин дерева. Пусть корень содержит метки M1 и M2, тогда