Макс Тегмарк - Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности

То, что сделал Бор, было в действительности эквивалентно тому предположению, что угловой момент электронной орбиты квантуется и может быть равен только кратному значению приведенной постоянной Планка ℏ, определяемой как h /2π. По аналогии с импульсом можно рассматривать угловой момент вращающегося объекта как меру времени, которое потребуется, чтобы остановить вращение, умноженное на приложенный момент сил (крутящий момент). Объект, вращающийся по круговой орбите радиуса r с импульсом p , имеет угловой момент rp .

Энергии орбит равны E 1/ n 2, где E 1называют энергией низшей орбиты, так что, перескакивая между орбитами n 1и n 2, электрон может испускать фотоны со всеми значениями энергии вида (1/ n 2 2– 1/ n 2 1) E 1.

Такое же явление наблюдается в автомобильных шинах на очень высокой скорости, а возникающие при этом звуковые волны резонируют внутри камеры, чем могут нанести ущерб вашему бюджету.

Если неопределенность положения частицы составляет Δ x , а неопределенность импульса Δ p , то принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что Δ x ·Δ p ≥ ℏ/2, где ℏ, как и прежде, – приведенная постоянная Планка h /2π. Математически неопределенность каждой величины определяется как стандартное отклонение ее распределения вероятности.

Если вы знакомы с векторным анализом, можете рассматривать состояние как радиус-вектор r и его производную r (вектор скорости).

Если вы ценитель математики и любите комплексные числа, вам будет приятно узнать, что волновая функция задает комплексное число Ψ ( r ) для каждой точки r в пространстве. То, что я называю в этой книге «квадратом» волновой функции, в действительности есть |Ψ| 2, – квадрат абсолютной величины |Ψ| волновой функции, который определяется как квадрат вещественной части плюс квадрат мнимой части. А если вы не любитель математики, не тревожьтесь: вы все равно сможете понять мои ключевые рассуждения.

Классический эксперимент, в котором это делается, включает отправку атома серебра через аппарат Штерна – Герлаха, который направляет его в два места в зависимости от спина.

Студенческая газета The Daily Cal процитировала меня с оговоркой: «По словам шведского студента, живущего напротив и пожелавшего остаться анонимным…», и еще много дней друзья подкалывали меня: «Эй, Макс, ты сегодня выглядишь таким анонимным».

Диссертация появилась в интернете в 2008 году ( http://www.pbs.org/wgbh/ nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf ). Представление о том, что в некоторые волшебные моменты реальность испытывает своего рода метафизическое расщепление на две ветви, которые в дальнейшем никогда не взаимодействуют, – это ошибочное изложение диссертации Эверетта. Оно, кроме того, противоречит его постулату о том, что волновая функция никогда не коллапсирует, поскольку дальнейшее развитие может, в принципе, заставить эти ветви интерферировать друг с другом. Согласно Эверетту, была, есть и всегда будет лишь одна волновая функция, и только расчеты декогеренции (суть которых я объясню в этой главе), а не постулаты, могут показать, когда с хорошим приближением можно рассматривать две ветви как не взаимодействующие.

На практике эта неустойчивая карта, конечно, вскоре упадет из-за едва заметного движения воздуха, так что лучше взять нормальную карту с толстым нижним краем и использовать квантовое устройство вроде шредингеровского триггера с радиоактивным атомом, чтобы подтолкнуть ее в ту или иную сторону.

Волновая функция соответствует одной точке в этом бесконечномерном пространстве, а из уравнения Шредингера вытекает, что эта точка будет двигаться вокруг центра пространства на фиксированном расстоянии.

Любопытно, что теорема Бореля произвела сильное впечатление на многих математиков его времени, и некоторые считали, что концепция вероятности слишком философична, чтобы признать ее строгой математикой. Неожиданно Борель возразил им с помощью математической теоремы, допускающей интерпретацию в терминах вероятностей, хотя в самой теореме упоминания о вероятностях нет. Борелю, несомненно, было бы интересно узнать, что его работа вызвала неожиданный рост значимости вероятностей не только в математике, но и в физике.

Матрицы плотности – это обобщения волновых функций. Каждой волновой функции соответствует матрица плотности, а каждой матрице плотности – уравнение Шредингера. Если у вас есть склонность к математике, то волновую функцию Ψ можно представлять как комплексное число Ψ i , заданное для любого возможного состояния i , и тогда соответствующая матрица плотности будет Pij = Ψ i Ψ j *, где звездочка означает комплексное сопряжение. Если вы не знаете волновой функции объекта, а известна только вероятность того, что он имеет определенную волновую функцию, то надо использовать матрицу плотности, которая представляет собой взвешенное среднее от матриц плотности, и имеется свое собственное уравнение Шредингера для матриц плотности, соответствующих этим волновым функциям.

Английское слово incoherent означает также «бессвязный», «непоследовательный», вплоть до «бестолковый». – Прим. пер.

Они утверждали, что модель микрокапсулы, которую я проверял, взята не из книги Пенроуза, но в 2006 году Стюарт любезно признал, что она оттуда. Они также доказывали, что мои вычисления должны быть ошибочными, поскольку выведенный мной временной масштаб декогеренции убывает при снижении температуры мозга, в то время как интуитивно ожидается, что должно быть наоборот. Момент, который они упустили, состоит в том, что как только вы снизите абсолютную температуру на 10 %, то есть ниже 0 °С, мозг замерзнет и время декогеренции резко возрастет. Небольшое уменьшение времени декогеренции при незначительном снижении температуры отражает тот хорошо известный факт, что объекты с большей вероятностью сталкиваются друг с другом при снижении температуры, подобно тому, как медленные нейтроны с большей вероятностью, чем быстрые, попадают по мишеням в ядерном реакторе. Они также утверждали, что мозг способен выполнять квантовые вычисления, используя «другие» механизмы, не указывая достаточно ясно, какие именно, чтобы я мог это проверить, а еще они говорили, что в мозге могут иметь место иные квантовые эффекты, которые не являются вычислениями (с чем я, собственно, никогда не спорил).