Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Нет никаких сомнений, что «Основания» – монументальное достижение в логике, однако едва ли можно считать этот труд долгожданными основами математики. Теорию типов Рассела многие считают несколько искусственным способом избавиться от проблемы парадоксов [131] Теория типов и в самом деле уже не пользуется благосклонностью большинства математиков. Однако очень похожая конструкция постоянно находит себе применение в программировании. См., например, Mitchell 1990. , причем этот способ сам по себе приводит к разным неприятным осложнениям. Например, рациональные числа, то есть простые дроби, принадлежат, как выяснилось, к более высокому типу, чем натуральные числа. Чтобы избежать некоторых таких осложнений, Рассел и Уайтхед ввели дополнительную аксиому, так называемую аксиому сводимости, которая сама по себе вызывает серьезные противоречия и недоверие.

Математики Эрнст Цермело и Абрахам Френкель предложили более изящные способы искоренить парадоксы. Они, в сущности, сумели снабдить теорию множеств самодостаточной системой аксиом и воспроизвести большинство результатов этой теории. На поверхностный взгляд сбылась мечта платоников – по крайней мере, отчасти. Если теория множеств и логика и в самом деле две стороны одной медали, значит, прочный фундамент теории множеств обеспечивает и прочный фундамент логики. А если к тому же почти вся математика выводится из логики, это придает математике своего рода объективную надежность, которую, кроме всего прочего, можно было бы привлечь для объяснения эффективности математики.

К сожалению, ликовали платоники недолго, поскольку их почти сразу же постиг тяжелый случай дежавю.

В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело (1871–1953) прошел по пути, очень похожему на тот, который проложил Евклид около 300 года до н. э. [132] Описание научных достижений Цермело см. в Ewald 1996. . Евклид сформулировал несколько недоказуемых, но, как предполагалось, самоочевидных постулатов о точках и линиях, а затем на их основании выстроил геометрию. Цермело – который независимо нашел парадокс Рассела еще в 1900 году – предложил способ выстроить теорию множеств на таком же аксиоматическом фундаменте. В его теории парадокс Рассела обходился при помощи тщательного отбора принципов конструирования, исключавших противоречивые идеи вроде «множества всех множеств». Систему Цермело в 1920-е годы развил и дополнил израильский математик Абрахам Френкель (1891–1965), в результате чего была создана так называемая теория множеств Цермело-Френкеля (важные коррективы внес и Джон фон Нейман в 1925 году) [133] Переводы статей Цермело, Френкеля и логика Туральфа Скулема на английский язык можно найти в van Heijenoort 1967. Относительно щадящее введение в теорию множеств и систему аксиом Цермело-Френкеля см. в Devlin 1993. . Все складывалось почти идеально, оставалось лишь доказать непротиворечивость, однако очень скоро возникли неприятные подозрения. Была одна аксиома – аксиома выбора , – которая, в точности как знаменитый «пятый постулат» Евклида, не давала математикам спокойно спать. На простом и понятном языке аксиома выбора гласит: если Х – набор (множество) непустых множеств, можно выбрать по одному члену из каждого множества в Х и сформировать из них новое множество Y [134] Подробнейшее обсуждение этой аксиомы см. в Moore 1982. . Легко убедиться, что это утверждение истинно, если набор X не бесконечен. Например, если у нас сто коробок и в каждой лежит по крайней мере по одному стеклянному шарику, можно запросто взять по шарику из каждой коробки и сформировать новое множество Y , в которое войдут сто стеклянных шариков. В таком случае нам и особой аксиомы не нужно – мы можем доказать, что такой выбор возможен. Это утверждение верно и для бесконечных наборов Х , если только мы можем точно указать, как именно мы делаем выбор. Представьте себе, например, бесконечный набор непустых множеств натуральных чисел. Членами этого набора могут быть множества вроде {2, 6, 7}, {1, 0}, {346, 5, 11, 1257}, {все натуральные числа от 381 до 10 457} и тому подобные. В каждом множестве натуральных чисел всегда есть одно самое маленькое число. Поэтому наш выбор вполне можно однозначно описать следующим образом: «Из каждого множества мы выбираем наименьший элемент». В таком случае опять же можно обойтись без аксиомы выбора. Сложности возникают с бесконечными наборами в тех случаях, когда мы не можем определить способ выбора. В таких случаях процесс выбора никогда не кончается, и существование множества, в котором содержится ровно по одному элементу из каждого члена набора X , становится вопросом веры.

Аксиома выбора с самого начала породила среди математиков серьезные споры. Поскольку она постулирует существование определенных математических объектов, то есть «выборов», не обеспечивая никаких сколько-нибудь осязаемых примеров таких объектов, на это обрушился шквальный огонь, особенно со стороны приверженцев философской школы под названием конструктивизм (родственной интуиционизму ). Конструктивисты считали, что все сущее должно быть также эксплицитно конструируемым. Другие математики также старались обойти аксиому выбора и при работе с теорией множеств Цермело-Френкеля ограничивались всеми остальными аксиомами.

Из-за явных недостатков аксиомы выбора математики задались вопросом: неужели нельзя либо доказать, либо опровергнуть эту аксиому через остальные аксиомы. История с пятым постулатом Евклида повторилась буквально. Ответить на этот вопрос отчасти удалось в конце 1930 годов. Это сделал Курт Гёдель (1906–1978), один из самых влиятельных логиков всех времен: он доказал, что аксиома выбора и другая знаменитая поправка, принадлежащая основателю теории множеств Георгу Кантору – континуум-гипотеза – не противоречат другим аксиомам Цермело-Френкеля [135] Кантор придумал способ сравнивать мощность бесконечных множеств. В частности, он доказал, что мощность множества вещественных чисел больше, чем множества целых. Затем он сформулировал континуум-гипотезу, согласно которой не существует множества, мощность которого лежит строго между мощностями множеств целых и вещественных чисел. Когда Давид Гильберт в 1900 году составил свой знаменитый список нерешенных проблем математики, вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, стоял на первом месте. Относительно недавнее обсуждение этой проблемы можно найти в Woodin 2001a, b. . То есть получалось, что ни ту ни другую гипотезу нельзя опровергнуть при помощи других стандартных аксиом теории множеств. Дополнительные доказательства получил в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934–2007), скончавшийся, увы, в то время, когда я писал эту книгу. Он установил, что аксиома выбора и континуум-гипотеза полностью независимы друг от друга (Cohen 1966). Иначе говоря, аксиому выбора нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи других аксиом. Подобным же образом и континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи тех же самых аксиом, даже если включить в них аксиому выбора.