Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

2. Для любой непротиворечивой формальной системы S , в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, невозможно доказать непротиворечивость S в рамках самой S.

Казалось бы, в этих словах нет ничего особенно грозного, однако их значение для программы формалистов оказалось весьма существенным.

Говоря несколько упрощенно, теоремы неполноты доказали, что формалистская программа Гильберта, в сущности, была нежизнеспособна с самого начала. Гёдель показал, что всякая формальная система, достаточно масштабная, чтобы вызывать хоть какой-то интерес к себе, по сути своей либо неполна, либо противоречива. То есть в лучшем случае всегда будут какие-то утверждения, которые эта формальная система не сможет ни доказать, ни опровергнуть. В худшем же эта система приведет к противоречиям. Поскольку для любого утверждения T всегда должно быть верно либо T , либо не- T , то, что конечная формальная система не может ни доказать, ни опровергнуть некоторые утверждения, означает, что в рамках этой системы всегда существуют истинные суждения, которые невозможно доказать. Иначе говоря, Гёдель показал, что никакая формальная система, состоящая из конечного множества аксиом и правил, по которым делаются выводы, никогда не сможет охватить всю совокупность математических истин. Остается лишь уповать на то, что общепринятые системы аксиом всего лишь неполны, но не противоречивы.

Сам Гёдель полагал, что независимое платоновское представление о математической истине все же существует. В статье, опубликованной в 1947 году, он писал следующее (Gödel 1947).

Однако у нас все же есть нечто вроде восприятия объектов теории множеств, несмотря на то, как далеки они от чувственного опыта, что и видно из того обстоятельства, что аксиомы навязывают себя нам как истину. Не вижу причин, почему мы должны доверять такого рода восприятию, то есть математической интуиции, меньше, чем чувственному восприятию.

Судьба распорядилась так, что в тот самый момент, когда формалисты уже были готовы устраивать парад победы, пришел Курт Гёдель, ревностный платоник, и испортил им все веселье, обрушив ливень на парад формалистской программы.

Знаменитый математик Джон фон Нейман (1903–1957), читавший в то время курс лекций о работах Гильберта, отменил оставшиеся лекции и посвятил освободившиеся учебные часы изложению открытий Гёделя.

Сложность личности Гёделя ничем не уступает его теоремам [142] Подробное описание философских воззрений Гёделя и того, как он соотносил философские идеи с основами математики, см. в Wang 1996. . В 1940 году они с женой Аделью бежали из захваченной фашистами Австрии, и Гёдель получил должность в Институте передовых исследований в Принстоне. Там он близко подружился с Эйнштейном, и они часто подолгу гуляли вместе. Когда в 1948 году Гёдель подал прошение на получение гражданства США, именно Эйнштейн вместе с математиком и экономистом из Принстонского университета Оскаром Моргенштерном (1902–1977) сопровождали его на собеседование в Службу иммиграции и натурализации. В целом обстоятельства этого собеседования довольно известны, однако они так красноречиво свидетельствуют об особенностях характера Гёделя, что я приведу их здесь полностью, в точности в том виде , в каком их описал по памяти Оскар Моргенштерн 13 сентября 1971 года. Я глубоко признателен миссис Дороти Моргенштерн Томас, вдове Моргенштерна, и Институту передовых исследований за предоставленную копию этого документа (Morgenstern 1971).

Гёдель должен был получить американское гражданство в 1948 году. Он попросил меня быть свидетелем, а в качестве другого свидетеля пригласил Альберта Эйнштейна, который с радостью согласился. Мы с Эйнштейном иногда встречались и были полны предчувствий по поводу того, что же будет в оставшийся до натурализации промежуток времени и особенно во время самой процедуры.

Гёдель, с которым я, разумеется, довольно часто виделся в месяцы, предшествовавшие этому событию, начал основательно и дотошно к нему готовиться. Поскольку он был человек весьма дотошный, то приступил к знакомству с историей США еще со времен заселения Северной Америки человеческими существами. Это постепенно привело его к изучению истории американских индейцев, различных их племен и т. д. Гёдель много раз звонил мне и просил посоветовать литературу, которую затем прилежно штудировал. По ходу дела возникало множество вопросов и, разумеется, высказывались сомнения, так ли уж точны и правдивы эти истории со всеми изложенными в них подробностями. Затем Гёдель постепенно, через несколько недель, перешел к изучению собственно американской истории, особенно сосредоточившись на вопросах конституционного законодательства. Это также натолкнуло его на изучение истории Принстона, и он пожелал узнать от меня, в частности, где проходила граница между городом и округом. Я, разумеется, пытался объяснить ему, что во всем этом нет совершенно никакой необходимости, но напрасно. Гёдель упорно желал выяснить все факты, которые хотел изучить к экзамену, и я снабжал его соответствующими сведениями, в том числе и о Принстоне. Затем он пожелал узнать, как избирался Городской совет, а как – Совет округа, и кто был мэром, и как функционировал Городской совет. Он считал, что его могут о таком спросить. А если он покажет, что не знает город, в котором живет, это произведет дурное впечатление.

Я пытался убедить его, что таких вопросов никогда не задают, что большинство вопросов и правда чистая формальность и что он с легкостью на них ответит, что самое сложное, что могут спросить, – это какое в нашей стране правительство и как называется высшая судебная инстанция и тому подобное. Так или иначе, он продолжал штудировать Конституцию.

Тут произошел интересный поворот. Гёдель не без волнения сообщил мне, что при изучении Конституции нашел в ней, к своему огорчению, внутренние противоречия и теперь способен доказать, что можно на совершенно законных основаниях стать диктатором и установить фашистский режим, хотя это не входило в намерения тех, кто составлял Конституцию. Я сказал ему, что подобное развитие событий крайне маловероятно, даже если предположить, что он прав, в чем я, конечно, сомневался. Однако он не отступал, поэтому у нас на эту тему было много разговоров. Я пытался уговорить его не поднимать подобные вопросы на экзамене в трентонском суде и рассказал об этом и Эйнштейну – тот ужаснулся, что в голову Гёделю пришла подобная мысль, и тоже сказал ему, что такие вещи не должны его тревожить и их не стоит обсуждать.

Шли месяцы, и вот наконец прислали извещение о дате экзамена в Трентоне. В тот самый день я заехал за Гёделем на машине. Он сел на заднее сиденье, и мы поехали забрать Эйнштейна к нему домой на Мерсер-стрит, а потом покатили в Трентон. По дороге Эйнштейн приобернулся и спросил.