Скотт Ааронсон - Квантовые вычисления со времен Демокрита

Упрямым решателям задач, таким как мы, все это может казаться всего лишь великим спором о словах – почему нас это должно волновать? И я готов с этим согласиться: если бы это действительно был спор о словах, то разницы не было бы никакой, и нам не стоило бы об этом беспокоиться! Но как указал в конце 1970-х гг. Дэвид Дойч, мы в состоянии придумать эксперименты, которые позволили бы отличить интерпретации первого и второго типов. Простейшим экспериментом такого рода было бы поставить себя в состояние когерентной суперпозиции и посмотреть, что получится! Или, если это слишком опасно, поставить в положение когерентной суперпозиции кого-нибудь другого . Идея в том, что если бы человеческие существа регулярно попадали в положение суперпозиции, то вопрос о проведении линии, отделяющей «классических наблюдателей» от остальной Вселенной, потерял бы смысл.

Но хорошо, человеческий мозг – это водянистая, рыхлая, неаккуратная штука, и мы, возможно, не смогли бы поддерживать его в состоянии когерентной суперпозиции на протяжении 500 миллионов лет. Чем можно заменить этот эксперимент? Ну, мы могли бы поместить компьютер в состояние суперпозиции. Чем сложнее компьютер – чем сильнее он напоминает мозг и нас самих, тем дальше мы сможем отодвинуть ту самую «линию» между квантовым и классическим. Сами видите, от этого до идеи квантовых вычислений остался всего один крохотный шажок.

Я хотел бы извлечь из всего этого более общий урок. Какой смысл затевать разговор о философских вопросах? Дело в том, что в дальнейшем мы собираемся довольно активно заниматься этим – в смысле, пустой философской болтовней. На этот счет существует стандартный ответ: философия, мол, занимается интеллектуальной расчисткой, это уборщики, которые приходят вслед за физиками и пытаются навести порядок, разобрав оставленный ими хлам. Согласно этой концепции, философы сидят в своих креслах и ждут, чтобы в физике или вообще в науке появилось что-нибудь интересное – квантовая механика, скажем, или неравенства Белла, или теорема Гёделя; после этого они (приведем метафору с обратным знаком) слетаются на новинку, как стервятники, и объявляют: ах, вот что это означает на самом деле .

Ну, на первый взгляд все это кажется каким-то скучным. Но, когда привыкаешь к подобной работе, мне кажется, обнаруживаешь, что это… все равно скучно!

Лично меня интересует в первую очередь результат – поиск решений нетривиальных, хорошо определенных и еще нерешенных задач. Какова же здесь роль философии? Мне бы хотелось предложить для философии более интересную и возвышенную роль, чем роль интеллектуального дворника: философия может быть разведчиком . Она может быть исследователем-первопроходцем – наносить на карту интеллектуальный ландшафт, который позже будет обживать физика. Далеко не все области естественных наук были заранее обследованы философией, но некоторые были. А в недавней истории, мне кажется, квантовые вычисления могут послужить эталонным примером. Замечательно, конечно, говорить людям: «Заткнитесь и считайте», но вопрос в том, что именно им следует считать. По крайней мере, в квантовых вычислениях (моя специальность) то, что мы любим считать, – емкость квантовых каналов, вероятности ошибок в квантовых алгоритмах – это такие вещи, которые никому в голову не пришло бы считать, если бы не философия.

Здесь мы будем говорить о множествах. Что будут содержать эти множества? Другие множества! Как куча картонных коробок, открыв которые, обнаруживаешь внутри только новые картонные коробки, и так далее, до самого дна.

Вы можете спросить: «Какое отношение все это имеет к книге о квантовых вычислениях?»

Ну, будем надеяться, что кое-какие ответы на этот вопрос мы увидим чуть позже. Пока же достаточно сказать, что математика есть основа всякой человеческой мысли, а теория множеств – счетных, несчетных и др. – основа математики. Так что неважно, о чем у нас книга, в любом случае множества – прекрасная тема для начала.

Мне, вероятно, следует без обиняков сказать вам, что я собираюсь втиснуть весь курс математики в эту одну главу. С одной стороны, это означает, что я не рассчитываю всерьез, что вы все поймете. С другой стороны, в той мере, в какой поймете, – замечательно! Вы получаете целый курс математики в одной главе! Добро пожаловать.

Итак, начнем с пустого множества и посмотрим, как далеко нам удастся пройти.

Вопросы есть?

На самом деле, прежде чем говорить о множествах, нам необходимо обзавестись языком для разговора о множествах. Язык, который придумали для этого Фреге, Рассел и другие, называется логикой первого порядка . Он включает в себя булевы функции (и, или, не), знак равенства, скобки, переменные, предикаты, кванторы («существует» и «для любого» [10] У автора – «для всех» (for all). – Прим. пер. ) – и, пожалуй, все. Говорят, что физики испытывают со всем этим сложности… Эй, потише, я просто пошутил. Если вы прежде не встречались с таким способом мышления, значит, не встречались, ничего страшного в этом нет. Но давайте все же пойдем навстречу физикам и пробежимся по основным правилам логики.

Все правила здесь говорят о том, как составлять предложения, чтобы они были корректны – что, говоря по-простому, означает «тавтологически истинны» (верны для всех возможных подстановок переменных) [11] Упрощая, автор использует далее как синонимы слова valid, которое описывает корректность (выводимость) логической формулы, и true, характеризующее истинность конкретного высказывания. – Прим. пер. , но что мы пока можем представить просто как комбинаторное свойство определенных символьных строк. Я буду печатать логические предложения другим шрифтом, чтобы их было легко отличить от окружающего текста.

• Пропозициональные тавтологии:A или не A, не (A и не A) и т. п. – истинны.

• Modus ponens (правило отделения):если A истинно и из A следует B истинно, то B истинно.

• Правила равенства:высказывания x = x; из x = y следует y = x; если x = y и y = z, то x = z; и из x = y следует f (x) = f (y) – истинны.

• Замена переменных:при изменении имен переменных высказывание остается истинным.

• Исключение квантора:если для всех x A (x) истинно, то A (y) истинно для любого y.

• Добавление квантора:если истинно A (y), где y – переменная без ограничений, то для всех x, A (x) истинно.

• Правило квантификации:если не (для любого x, A (x)) истинно, то существует такой x, что не (A (x)) истинно.

Приведем в качестве примера аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел, записанные в терминах логики первого порядка. В них S ( x ) – это функция следования, интуитивно S ( x ) = x + 1, и я предполагаю, что функции определены заранее.