Скотт Ааронсон - Квантовые вычисления со времен Демокрита

Несложно убедиться, что полная упорядоченность подразумевает аксиому выбора: достаточно просто вполне упорядочить всю бесконечность носков, а затем выбрать из каждой пары носков тот, что идет первым по порядку.

Хотите убедиться в обратном? Почему аксиома выбора подразумевает, что любое множество можно полностью упорядочить? Да?

Хорошо! У нас имеется множество A, которое мы хотим полностью упорядочить. К каждому собственному [12] Собственным подмножеством называется подмножество, не совпадающее с самим множеством. – Прим. пер. подмножеству B ⊂ A мы применим аксиому выбора, чтобы выбрать элемент f (B) ∈ A – B (где A – B означает множество всех элементов A, которые не являются также элементами B). Теперь мы можем начать упорядочение A так: пусть s 0= f ({}), далее пусть s 1= f ({ s 0}), s 2 = f ({ s 1}) и т. п.

Может ли этот процесс продолжаться до бесконечности? Нет, не может. Потому что если бы он продолжался до бесконечности, то посредством так называемой «трансфинитной индукции» мы могли бы запихнуть в A произвольно большие бесконечные кардинальные числа. А множество A хотя и бесконечно, но имеет не более чем фиксированный бесконечный размер! Так что процесс этот должен где-то остановиться. Но где? На некотором собственном подмножестве B множества A? Нет, это тоже невозможно, поскольку если бы это было так, то мы просто продолжили бы процесс добавлением f (B). Так что единственное место, где он может остановиться, это само A. Следовательно, A может быть полностью упорядочено.

Ранее я упоминал некие математические сложности, изначально присущие континууму, и есть у меня одна головоломка, некоторым образом связанная с ними.

Вы ведь знаете действительную числовую прямую? Пусть нам нужно объединение открытых отрезков, или интервалов (возможно, бесконечного их числа), которое перекрывает все рациональные точки. Вопрос: обязательно ли сумма длин таких интервалов должна быть бесконечной? Казалось бы, это совершенно естественно, это первое, что приходит в голову! В конце концов, рациональные числа у нас всюду!

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

www.scottaaronson.com/blog. Использованное в названии блога слово штетл обозначало еврейское местечко в черте оседлости Российской империи. – Прим. пер.

www.youtube.com/watch?v=saWCyZupO4U. Здесь и далее примечания автора даются без дополнительных указаний.

www.scottaaronson.com/blog/?p=277

www.smh.com.au/news/technology/professor-claims-ad-agency-cribs-lecturenotes/2007/10/03/1191091161163.html

idle.slashdot.org/story/07/10/02/1310222/scott-aaronson-printer-shill

www.scottaaronson.com/blog/?p=297

Стандартным учебным пособием в этой области остаются «Квантовые вычисления и квантовая информация» Майкла Нильсена (Michael Nielsen) и Айзека Чуанга (Isaac Chuang).

T. Ito and T. Vidick, A Multi-prover Interactive Proof for NEXP Sound against Entangled Provers. In Proceedings of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (2012), pp. 243–252.

E. Schrödinger, What is Life? With Mind and Matter and Autobiographical Sketches , Cambridge University Press (reprinted edition), 2012.

У автора – «для всех» (for all). – Прим. пер.

Упрощая, автор использует далее как синонимы слова valid, которое описывает корректность (выводимость) логической формулы, и true, характеризующее истинность конкретного высказывания. – Прим. пер.

Собственным подмножеством называется подмножество, не совпадающее с самим множеством. – Прим. пер.