Георгий Гамов - Занимательная математика

Ему же неизменно отказывали в приеме, считая, что он еще не дорос.

По мнению знатоков, составлявших славу и гордость клуба, столь юный претендент на звание члена клуба еще не может обладать в должной мере развитым воображением, способностью мысленно представлять расположение шахматных фигур или шашек на доске и обладать другими качествами, необходимыми истинному любителю шахмат и шашек.

Знатоки пребывали в полной уверенности, что они правы, хотя юный Николас, несмотря на свой возраст, уже проявил себя как весьма неординарный игрок в шахматы и шашки.

Однажды вечером юный Николас по обыкновению торчал в клубе, наблюдая за игрой мастеров. В ответ на робкую просьбу разрешить и ему сыграть партию, Николасу с насмешкой посоветовали научиться сначала играть в детскую игру домино.

— Простите, сэр? — возразил юный Николас, — но я не понимаю, каким образом умение играть в домино будет способствовать повышению моей шахматной или шашечной квалификации.

— А ты попробуй, тогда поймешь.

Через несколько дней юный Николас сообщил одному из завсегдатаев клуба, что, занимаясь, как ему было сказано, изучением игры в домино, он натолкнулся на одну интересную задачу, устанавливающую связь между игрой в домино и шахматами.

Не скрывая насмешливых улыбок, присутствовавшие при разговоре члены клуба окружили Николаса и с интересом выслушали его сообщение.

Как хорошо известно каждому из нас, начал Николас солидным тоном, — шахматная доска состоит из 64 квадратных полей, по 8 полей вдоль каждой из сторон. Если бы мы попытались покрыть всю шахматную доску домино, то, так как каждый камень домино имеет форму прямоугольника шириной в одно поле и длиной в два поля, нам для этого понадобилось бы 32 домино. Предположим, что у нас всего лишь 31 домино. Тогда независимо от того, как мы будем располагать их на шахматной доске, два поля останутся непокрытыми. Если я начну укладывать домино на шахматную доску, оставив непокрытым поле в левом верхнем углу доски, и буду укладывать домино вплотную друг к другу, пока не исчерпаю весь запас из 31 камней, ясно, что еще одно поле должно остаться непокрытым. Задача состоит в том, чтобы это непокрытое поле оказалось в правом нижнем углу доски.

Мне кажется, джентльмены, что эта одна из задач на умение мысленно представить себе расположение фигур на шахматной доске, в решении которых вы достигли таких вершин.

Завсегдатаи клуба переглянулись и согласились, что предложенная юным Николасом задача действительно интересна. Затем любители шахмат и шашек приступили к решению. Они раздобыли комплект из 31 домино и принялись усердно выкладывать их на шахматную доску то одним, то другим способом, но, как ни бились, покрыть доску домино так, чтобы поле в правом нижнем углу доски осталось свободным, им не удавалось.

Через несколько дней они официально уведомили юного Николаса, что покрыть шахматную доску так, чтобы поле в правом нижнем углу доски осталось свободным, невозможно. Тем самым задача была решена.

— Но откуда вы знаете, что задача неразрешима? — спросил Николас.

— А как же? — удивился один из завсегдатаев клуба. — Мы перепробовали укладывать домино на шахматную доску всевозможными способами, и ни один из них не привел к желаемому результату, поэтому решение невозможно.

— Думаю, что вы правы, — признал юный Николас, — хотя и не объяснили, почему задача неразрешима.

— Как почему? — в один голос воскликнули завсегдатаи клуба. — Потому что нам не удалось найти его.

— Мне бы хотелось, джентльмены, получить более обоснованный ответ, — мягко возразил юный Николас.

— А какой ответ может быть более обоснованным? — искренне удивились члены клуба.

— Хотя бы следующий, — пояснил юный Николас. — Я бы предложил рассматривать задачу с такой точки зрения. Поскольку на любой шахматной доске число черных и белых полей одинаково, а каждый камень домино покрывает ровно одно черное и одно белое поле, то два поля, оставшиеся непокрытыми, должны быть различного цвета. Между тем угловые поля, стоящие на противоположных концах диагонали, одного цвета. Следовательно, как бы вы ни покрывали шахматную доску камнями домино, вам не удастся расположить домино так, чтобы угловые поля на одной диагонали остались свободными. Перед нами, джентльмены, любопытный образчик задачи, в которой введение на первый взгляд ничего не значащего условия упрощает решение. В действительности же все, что необходимо для формулировки задачи, это квадрат (доска), разлинованная в «клеточку» на 8 х 8 меньших квадратов. Шахматная раскраска меньших квадратов здесь пи при чем — все квадраты могут быть одного цвета. Другое дело, что для решения задачи нам придется разделить квадраты на две группы — одни могут быть черными, а другие белыми. И такое разделение позволяет легко и просто решить задачу!

На одного из завсегдатаев клуба логика рассуждений Николаса произвела столь сильное впечатление, что он предложил принять Николаса в члены клуба и предоставить тем самым юному дарованию возможность играть в шашки. Другой завсегдатай клуба решительно возражал против принятия Николаса в члены клуба, ссылаясь на то, что тот «еще мал для этого» и что ему более пристало по возрасту играть в детские игры.

— Лучше всего в кубики, — с презрительной усмешкой добавил он.

Другой член клуба, относившийся к юному Николасу с большой симпатией, заметил:

— Кстати, о кубиках, джентльмены. Я вспомнил об одной задачке.

Требуется возвести некоторое сооружение, используя в качестве кирпичей домино. Мне кажется, что эта задачка могла бы представить для вас определенный интерес.

— Не думаю, чтобы нам стоило тратить время и выслушивать какие-то задачки о возведении игрушечных сооружений из домино, — возразил другой член клуба с плохо скрытым отвращением.

— Но почему бы вам не выслушать задачку? — настаивал первый. — Вдруг она вам понравится.

Предположим, что у вас имеется неограниченный запас домино. Задача состоит в том, чтобы построить из домино столбик, верх которого образует как можно длинный «козырек», т. е. смещен на максимальное расстояние относительно основания. Вы вольны сдвигать каждое домино относительно предыдущего на сколько угодно большое или малое расстояние. Важно лишь, чтобы весь столб был устойчив и не опрокидывался.

Сразу же было высказано несколько догадок относительно того, сколь велик может быть «козырек». Оценки колебались от половины до целого домино (по длине).

— Должен огорчить вас, джентльмены, — заявил с улыбкой член клуба, отстаивавший Николаса, — но я не слышу ни одного правильного ответа.