Льюис Кэрролл - Льюис Кэрролл: Досуги математические и не только (ЛП)

Затем берём произведение тех цифр, что расположились по вертикали (в нашем случае это 8 и 6); оно равняется 48; мы записываем его разряд единиц (в нашем случае это 8) прямо под помеченной цифрой, а 4 «оставляем в уме» — вот так:

Затем мы сдвигаем нашу полоску на одну позицию влево:

Затем складываем цифру, оставшуюся в уме, с произведением тех цифр, которые расположились по вертикали, и записываем результат как ранее. Ход рассуждения тут таков: «4 плюс 24 будет 28, плюс 16 будет 44; 4 пишем, 4 в уме».

Затем вновь сдвигаем нашу полоску и действуем как ранее; ход рассуждения при этом таков: «4 плюс 12 будет 16, плюс 8 будет 24, плюс 56 будет 80; 0 пишем, 8 в уме».

Затем мы снова сдвигаем нашу полоску и так далее; когда достигнут последний шаг, наш пример принимает вот такой вид, с числом 5 в уме:

Следовательно, ход рассуждения на последнем шаге таков: «5 плюс 15 будет 20; записываем». Затем убираем нашу полоску, и перед нами следующий результат:

Такой же способ пригоден и при перемножении десятичных дробей; нам потребуется лишь не забывать совмещать цифру с меткой на нашей полоске бумаги по вертикали с тем десятичным разрядом, на который переносится следующее действие. Например, если нам нужно перемножить 0,63624 и 0,25873, и если, с целью иметь ответ с точностью до трёх знаков, мы пожелаем перенести действие на четвёртый разряд, то наш пример запишется так:

Тогда мы выписываем число 426360 на отдельной полоске бумаги и располагаем его так, чтобы помеченная цифра совпала по вертикали с четвёртым десятичным разрядом ответа — вот так:

Ход рассуждения на первом шаге будет таков: «0 плюс 48 будет 48, плюс 15 будет 63, плюс 12 будет 75; 5 пишем, 7 в уме».

Затем сдвигаем нашу полоску бумаги влево и действуем как ранее; на последнем шаге наш пример принимает следующий вид, с числом 1 в уме:

Следовательно, ход рассуждения на последнем шаге таков: «1 плюс 0 будет 1; записываем». Удаляем нашу полоску бумаги получаем результат:

Следовательно, ответ с точностью до третьего знака будет 0,164. Изложенный способ, как мне кажется, не только сэкономит место и время, но избавит от ошибок по невнимательности, связанных с выписыванием всех промежуточных рядов цифр, необходимых при старом способе, а также от постоянной опасности утерять нужное место, пока глаз носится наискось от одной цифры до другой, находящейся несколькими рядами ниже.

Ваш покорный слуга,

Чарльз Л. Доджсон,

член Колледжа и преподаватель математики

в Крайст Чёрч, Оксфорд».

На шестом этапе у нас появляется ряд из трёх произведений пар цифр, располагающихся вертикально: 5 × 9 = 45, 7 × 1 = 7 и 4 × 8 = 32. Складываем разряды единиц: 5 + 7 + 2 = 14, четыре пишем, один в уме; складываем десятки: 5 + 3 = 8.

Этот параграф был напечатан отдельной статёй в журнале «Nature», т. LVI (от 14 октября 1897 г.), с. 565—566, под названием «Короткий способ деления данного числа на 9 и 11». Нижеследующему тексту был предпослан вступительный абзац: «Я был бы благодарен, позволь Вы мне, посредством Вашей колонки, сообщить — главным образом математикам, но в особенности тем, кто занимается преподаванием математики — два новых правила, которые приводят к такому сбережению времени и труда, что, на мой взгляд, обязаны систематически изучаться в школах».

Здесь, лишь в третьем выпуске серии «Curiosa Mathematica», впервые появляется в авторском тексте слово «curious», которое, в отличие от латинского заимствования «curiosa», означает не то, что возбуждает пытливый интерес, но предмет всего лишь (праздного) любопытства. Однако и в этом, третьем, выпуске такие предметы представляют собой лишь редкие вкрапления в основной текст, который никак не рассматривался автором в качестве собрания курьёзов.

В указанной статье для журнала «Nature» вместо этого примера Доджсоном дан другой; предваряемая фраза слегка изменена, вместо двух заключительных абзацев — один и иной. «Вот, для примера, целиком должное решение при делении некоторого данного числа из семнадцати цифр на 999 и на 1001:

Но такие делители не относятся к повсеместно используемым, и для целей школьного обучения пока не будет иметь смысла выходить за пределы правил деления на 9 и на 11. Чарльз Л. Доджсон. К. Ч., Оксфорд».

Существуют также гранки ещё одной работы, дословно совпадающей с данным параграфом настоящего фрагмента «Curiosa Mathematica, часть III», имеющей тот же заголовок, как и статья в журнале «Nature», но без первого и заключительного абзацев последней. Вместо этого, заключительного, абзаца гранки имеют следующее продолжение.

«Тот же самый принцип приложим к любому числу, соседствующему с кратным 10-ти, при условии что мы сможем выявить, не прибегая к делению, требуемый Остаток .

Например, 41 есть множитель числа 99999, так что мы можем найти «остаток-41», предварительно найдя «остаток-99999», а затем разделив его на 41. Затем мы можем продолжать в соответствии с «правилом-11», за исключением того, что каждую цифру в отделе частного нижней строки мы, когда используем её как вычитаемое, должны брать учетверённой. Мы начинаем с разбиения данного числа на периоды по пять разрядов, затем складываем эти периоды вместе и, в случае если их сумма будет содержать более чем пять цифр, поступаем с ней таким же образом. Следовательно, будет лучше сделать подсчёт общей суммы, — предварительно, над данным числом, и только его конечный результат, который есть истинный Остаток, поместить снизу.