Льюис Кэрролл - Льюис Кэрролл: Досуги математические и не только (ЛП)

Итак, число P , на которое приходится Пасха, определяется следующими выражениями:

P = 22 + ( d + e ) марта (1)

или, если P превысит 31,

P = ( d + e ) – 9 апреля. (2)

Входящие в эти формулы величины таковы: d = |(19 c + m )/30|, e = |(2 a + 4 b – d + n )/7|.

Таковы формулы Гаусса (за опущенными подробностями мы отсылаем читателя к статье базельского профессора Г. Кинкелина 1870-го года, тогда же перепечатанной по-русски в «Математическом сборнике Московского математического общества», т. V, с. 73—92 — перевёл и дополнил Н. Сонин; доказательство формул Гаусса просто и вместе с тем строго впервые было дано именно в этой статье). Здесь a в обозначениях Роуза Болла — это 4-Rem данного года у Доджсона; b и c соответствуют, аналогично, 7-Rem и 19-Rem. У Доджсона тоже есть величина a (из таблицы); чтобы не путать её с болловой (то есть, с 4-Rem), обозначим её здесь как a c (кэрроллова).

Рассмотрим выражение, раскрывающее величину d ; добавив в числитель сократимые величин, кратные 30, получим

d = |(19 c + m )/30| = |(19 c – 30 c + m – 30)/30| = | – (11 c + a c )/30| = ∆,

где ∆ есть тот дефект числа 11 c + a c от наибольшего кратного 30, содержащего в себе это число, о котором Доджсон говорит в пункте 3) параграфа 3 своей работы. (В самом деле, этот дефект есть величина 30 w – 11 с – a c , где w — некоторое число, выбираемое таким образом, чтобы значение всего выражения по модулю было меньше 30; это и приводит нас к вышеуказанному виду для ∆.) Отметив, кроме того, что n из таблицы в книге Роуза Болла соответствует h из Доджсоновой таблицы, запишем:

e = |(2 a + 4 b + h – ∆)/7|.

Подставляя преобразованные таким образом величины d и e в формулу (1), получаем:

P = 22 + d + e = 22 + ∆ + |(2 a + 4 b + h – ∆)/7|.

Отметив также, что |(2 a + 4 b + h )/7| есть Доджсоново k , и разложив ∆ на сумму наибольшего кратного 7, содержащегося в ∆, и остатка от деления на 7, запишем:

P = 22 + 7{∆/7} + |∆ /7|+ k – |∆ /7|

с точностью до 7 . Таким образом,

P = 22 + k + 7{∆ /7} марта (1*)

либо, аналогично,

P = k + 7{∆ /7} – 9 апреля. (2*)

Это есть Доджсонов вид формул Гаусса. В таком виде, однако, они пригодны лишь для случая, когда, как указывает Доджсон, k + 7{∆ /7} «дотягивает» до ∆. В самом деле, ведь величина k + 7{∆ /7} в формулах Доджсона, эквивалентная сумме d + e в формулах Гаусса, не может быть менее d : «дотягивать» до пасхального полнолуния она обязана. Если этого не происходит, мы должны ещё прибавить сюда недостающую нам семёрку. И тогда

P = 29 + k + 7 марта (3)

либо

P = k + 7 – 2 апреля. (4)

Как тут поступать, Доджсон поясняет в небольшой статье «Мнемоническая техника», которую мы здесь и приведём по книге Доджсона Коллингвуда «Жизнь и письма Льюиса Кэрролла».

«Моя мнемоническая техника есть видоизменение методики Грея; но в то время как тот для представления цифр использует как согласные, так и гласные, и вынужден удовлетвориться слоговой белибердой в выражении даты и всякого иного нужного числа, я использую одни согласные, а гласными лишь разбавляю их сколько понадобиться; таким образом, мне всегда удаётся выстроить настоящее, существующее слово для всего, что ни требуется выразить.

Принципы, на основании которых были отобраны двадцать согласных, таковы.

1:<���отобраны> «b» и «c», как первые две согласные алфавита.

2: «d» из «duo» <���‘два’ лат. >и «w» из «two» <���‘два’ англ. >.

3: «t» из «tres» <���‘три’ франц. >, о второй немного позже.

4: «f» из «four» <���‘четыре’ англ. > и «q» из «quattuor» <���‘четыре’ франц. >.

5: «l» и «v», поскольку «l» и «v» суть римские обозначения пятидесяти и пяти.

6: «s» и «x» из «six» <���‘шесть’ англ. >.

7: «p» и «m» из «septem» <���‘семь’ лат. >.

8: «h» из «huit» <���‘восемь’ франц. > и «k» из греческого слова «okto» <���‘восемь’>.

9: «n» из «nine» <���‘девять’ англ. > и «g» как напоминающее девятку видом.

0: «z» и «r» из «zero» <���‘ноль’ англ. >.

Теперь у нас имеется ещё один согласный, ожидающий своей цифры, а именно «j», и одна цифра, ожидающего своего согласного, а именно «3»; вывод очевиден.

Результат представим в виде таблицы:

Когда найдено слово, чьи последние согласные представляют нужное число, лучше всего действовать так: поместить это слово последним в рифмованный куплет, так что если даже остальные слова из этого куплета забудутся, рифма спасёт единственное действительно важное слово.

Теперь предположим, что вы желаете запомнить дату открытия Америки, то есть год 1492. Без «1» мы можем обойтись — эта единица очевидна; тогда нам нужно лишь 492. Запишем это так:

Теперь попытаемся отыскать слово, содержащее «f» или «q», «n» или «g», «d» или «w». Такое слово сразу же само напрашивается: «found» <���‘находить’ англ. >.

После этого к делу привлекается поэтическая способность, и вот возникает такой куплет:

По возможности сочиняйте такие куплеты сами: их вы запомните лучше, чем чьи-либо чужие.

Июнь 1888 г».

Перевод этой мнемонической строфы таков: «Спишите эту песенку себе! Столь же нехорошо оставить в живых блоху, как и ограбить пчелу». Согласные третьей строки английского текста в соответствии со сказанным в предыдущем примечании последовательно подсказывают цифры 6, 5, 4, 5 — значения величины a , а согласные четвёртой строки — цифры 6, 0, 1, 1, значения h .

Считаем нужным напомнить нашему читателю следующее. В данной работе выражение «Пасха по старому стилю» соответствует нашей православной пасхе (а до 1582 года повсеместно также и католической), и для неё мы получаем по формулам Гаусса — Доджсона действительно даты по старому стилю . Например, для Пасхи 2012 года эти формулы дают 2 апреля. По новому стилю православная Пасха 2012 года придётся, в результате разницы между двумя календарями, на 15-го апреля. Разумеется, выражение «Пасха по новому стилю» у Доджсона подразумевает отнюдь не эту, православную, Пасху в датах григорианского календаря, но католическую (лишь до 1582 года совместно с православной), исчисляемую по формулам Гаусса — Доджсона сразу в датах нового стиля . Для 2012 года расчёт даст 8 апреля.