Станислав Улам - Приключения математика

Как только машины были доделаны, Ферми, с присущей ему интуицией и огромным здравым смыслом, сразу же осознал все их значение в исследовании проблем теоретической физики, астрофизики и классической физики. Мы обсуждали этот вопрос самым подробным образом и решили попытаться сформулировать какую-нибудь задачу, которая была бы проста в своей постановке, но имела бы решение, требующее очень длинных вычислений, невыполнимых с помощью ручки и бумаги или существующих механических вычислительных устройств. Обсудив ряд возможных задач, мы остановились на одной типовой задаче, связанной с долговременным поведением динамической системы и требующей долгосрочного предсказания. В ней рассматривалась эластичная струна с двумя закрепленными концами, на которую действует не только обычная упругая сила деформации, пропорциональная деформации, но и малая по величине физическая нелинейная сила. Необходимо было выяснить, как после очень большого числа периодов колебаний эта нелинейность будет постепенно влиять на известное периодическое поведение колебаний в одной тональности, каким образом другие тональности струны приобретут свои амплитуды и как, рассуждали мы, будет происходить термализация движение, имитируя, быть может, поведение жидкостей, которые, будучи вначале ламинарными, становятся все более и более турбулентными, пока, наконец, их макроскопическое движение не преобразовывается в тепло.

Джон Паста, недавно приехавший в Лос-Аламос физик, помогал нам в составлении блок-схем, программировании и обработке задачи на MANIAC. Ферми решил сам научиться программировать машину. В те дни сделать это было труднее, чем сейчас, когда уже существуют готовые программы и установленные правила, а сама эта процедура автоматизирована. Тогда же необходимо было учиться различным хитрым приемам. Ферми очень быстро овладел ими, а кое-чему научил и меня, хотя я уже и так знал достаточно, чтобы суметь оценить, какого рода задачи можно решать таким образом, определить их продолжительность в количестве этапов вычисления и понять принципы их выполнения.

Как оказалось, мы весьма удачно выбрали задачу. Полученные результаты в качественном отношении совершенно отличались даже от тех, что ожидал Ферми со своим глубочайшим знанием волновых движений. Первоначальная цель заключалась в том, чтобы посмотреть, с какой скоростью энергия струны, изначально заложенная в простой синусоидальной волне (нота бралась как один тон), будет постепенно создавать более высокие гармоники, и каким образом система придет в конечное хаотическое состояние, описывающее как форму струны, так характер распределения энергии среди более и более высоких тональностей. Но ничего подобного не произошло. К нашему удивлению, струна начала играть только на нескольких глухих нотах и, что, наверное, еще более поразительно, после нескольких сотен обыкновенных возвратнопоступательных колебаний она опять приняла почти ту же, что и в начале, синусоидальную форму.

Я знаю, что Ферми считал это «незначительным открытием», как он сам сказал. Но он собирался рассказать о нем через год, когда его пригласили прочесть лекцию Гиббса (весьма почетное событие на ежегодном заседании Американского математического общества). Он заболел еще до заседания, и эта лекция так никогда и не состоялась. Однако отчет по этой работе, написанный Ферми, Пастой и мной, все же был опубликован — как отчет о работе в Лос-Аламосе.

Я должен объснить, что движение сплошной среды, какой, к примеру, является струна, можно исследовать с помощью компьютера, если представить, что струна состоит из конечного числа частиц — в нашем случае шестидесяти четырех или ста двадцати восьми. (Число элементов лучше представить в виде какой-нибудь степени двойки, так как это облегчает обработку на компьютере.) Эти частицы связаны друг с другом силами, которые в дополнение к линейным по расстоянию слагаемым содержат также малые нелинейные квадратичные слагаемые. Затем машина быстро рассчитывает движение каждой из этих точек за короткие временные этапы. Вычислив одно положение, она переходит к другому временному этапу и вычисляет новое положение, и так повторяется много раз. Нет абсолютно никакого способа выполнить это вычисление вручную, на это ушли бы буквально тысячи лет. Совершенно неприемлемо здесь и решение в аналитическом виде с использованием математических приемов классического анализа девятнадцатого-двадцатого столетий.

Результаты были воистину поразительными. Множество попыток было предпринято для выяснения причин такого периодического и закономерного поведения, ставшего источником для существующей сегодня объемной литературы по нелинейным колебаниям. Работы по ним написали Мартин Крускал, физик из Принстона, и Норман Забуски, математик, работавший в телефонной Лаборатории Белла. Позднее свой блестящий вклад в эту теорию внес Питер Лаке. Все они провели интересный анализ проблем подобного рода. Математик знает, что так называемая возвращаемая динамическая система Пуанкаре, включающая в себя столько частиц, имеет гигантскую длину — фактически, в астрономическом масштабе — и то, что она так быстро возвращается в свое исходное положение, вызывает самое большое удивление.

Другой физик из Лос-Аламоса, Джеймс Так, решил проследить, начинается ли период, следующий за этим очень близким к первоначальному положению возвратом, снова из того же состояния, и что будет после этого второго «периода». Вместе с Пастой и Метрополисом он повторил всю процедуру, и, что удивительно, возврат произошел вновь, но с точностью, меньшей приблизительно на один процент. Такая картина повторялась и дальше, но после шести либо двенадцати таких периодов точность вновь начинала повышаться, что говорило о появлении некого «суперпериода». Итак, за одной странностью последовала другая, ничуть не меньшая.

Исследовали и посвятили этой проблеме свои работы и другие ученые, в том числе несколько русских математиков. А в прошлом году я получил письмо из Японской Академии наук, испрашивающее разрешения перепечатать работу Ферми — Пасты — Ула-ма. Я без колебаний дал свое согласие, и вскоре после этого в свет вышел целый том, в который вошли описания исследований этих вопросов, принадлежащие многочисленным авторам.

Не будет лишним заметить здесь, что Джон Паста был очень интересной личностью. Во времена Депрессии он, будучи физиком по профессии, несколько лет проработал патрульным полицейским в Нью-Йорке. В Лос-Аламосе он присоединился к моей группе. Обычно очень молчаливый, он мог иногда сказать что-нибудь очень смешное и язвительное. Когда Джонни стал членом Комиссии по атомной энергии, он, оценив здравомыслие и способности Пасты, а также знание им обстановки в Лос-Аламосе, пригласил его вступить в КАЭ в Вашингтоне.