Борис Кушнер - Учитель

Вероятно корни марковского конструктивного мировоззрения лежат в его опыте естествоиспытателя, тяготеющего к осязаемости получаемых результатов, и в общей независимости его личности, не готовой автоматически следовать установившимся канонам, подвергающей их анализу и отклоняющей, если каноны этого анализа не выдерживают.

Объектом изучения в марковской математике являются конструктивные объекты и конструктивные процессы, выполняемые с этими объектами. Для всех реальных целей этой математики вполне достаточно одного общего типа конструктивных объектов — слов в алфавите. При этом, разумеется, принимаются некоторые идеализирующие соглашения, коротко говоря, допускается наша способность опознавать буквы, слова как графически одинаковые или различные. Таким образом, мы можем говорить, например, о букве «а» русского алфавита, отвлекаясь от различий в реальных появлениях этого знака в словах, которые мы пишем или печатаем. Каждый, кто сталкивался с документами, написанными плохим почерком или даже просто с печатными (не говорю уж о рукописных) текстами в готике, понимает, что здесь идёт речь именно об идеализации. С другой стороны, наша способность читать, распознавать графемы лежит в самой основе интеллектуальной деятельности человека. Целые числа, очевидно, можно трактовать как слова в алфавите, который мы видим на клавиатуре нашего компьютера, то же самое можно сказать и о рациональных числах. Скажем, 2/3, очевидно, слово. О том, как распространяется этот подход на «высшую математику», можно прочесть в уже упоминавшейся (примечание 52) моей монографии.

В центре конструктивной математики Маркова находится также точное понятие алгорифма. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что алгорифмы — это компьютерные программы. Сами же компьютеры имеют возможность наращивать по мере необходимости память и потенциально не ограничены во времени выполнения программ. Точные понятия алгорифма были выработаны в математике в тридцатых годах 20-го века, и характерно, что случилось это в недрах именно оснований математики, в ходе работ по преодолению кризиса этих оснований. Андрей Андреевич включился в эту работу сразу после войны, когда и начался его «конструктивный период». Впрочем, в частных беседах А.А. говорил, что имел ясно выраженные «конструктивные» наклонности много раньше. А.А. Маркова, Мл. можно смело считать одним из пионеров теории алгорифмов и компьютерных наук, информатики (Computer Science). Им было предложено одно из ведущих современных точных понятий алгорифма (нормальные алгорифмы Маркова) и написана ставшая уже классической монография [52] А.А. Марков, Теория алгорифмов, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, т. 42, 1954. См., также цитированные выше два издания одноименной монографии Маркова и Нагорного. , содержащая первое в математической практике строгое изложение теории слов и доказательства правильности работы тех или иных алгорифмов. Помимо прочего, это предвосхищало ряд современных направлений в информатике.

Сама природа конструктивных объектов и процессов подсказывает новый подход к пониманию математических суждений. Например, существование конструктивного объекта считается установленным, если указан потенциально выполнимый способ построения этого объекта. При этом многие привычные принципы оказываются неприемлемыми. В особенности это относится к закону исключённого третьего и к косвенным методам доказательств, на нём основанных. Например, в доказательствах по хорошо знакомой схеме «от противного» существование конструктивного объекта устанавливается приведением к противоречию гипотезы, что искомый объект не существует. При этом никакого способа построения искомого объекта не предлагается, и он оказывается не осязаемым, чем-то вроде призрака. И такие призраки бродят по всей традиционной математике. Из сказанного ясно, что в конструктивной логике «быть» гораздо сильнее, чем «не может не быть». Впрочем, и в обычной речи здесь имеется явный стилистический оттенок, предложение «я выразил своё возмущение этому господину» звучит сильнее, категоричнее, чем «я не мог не выразить своего возмущения этому господину» [53] Наши рассуждения показывают неприемлемость в конструктивной логике закона снятия двойного отрицания (если неверно, что неверно А , то А ). Закон этот, часто рассматриваемый в логике отдельно, немедленно следует из более общего закона исключённого третьего. В самом деле, поскольку имеет место одно из двух А или не А , причём не А исключено, то остаётся А . .

По-видимому, Брауэр был первым учёным, сделавшим эпохальный шаг в осознании не универсального характера классической логики. Различные философии, различные приложения могут требовать различных логик. Эта множественность духовно сродни множественности геометрий, открытой в XIX-м веке Лобачевским, Бойяи и Гауссом. Брауэр же сформулировал основные принципы интуиционистской логики, с несущественными для нас нюансами являющейся также логикой конструктивной математики. Выражаясь кратко, классическая логика есть логика идеализированного математического бытия, абсолютного знания этого бытия, тогда как конструктивная логика есть логика наших умений.

Сережа прочёл «Гамлета» с особенным вдохновением, видно было, что стихотворение захватывало его. На меня это произвело сильное впечатление — не столько даже сами стихи, сколько одухотворённость читавшего и ощущение прикосновения к чему-то большому, новому, частью чего были эти немногие строки… Помнится, я тогда же сказал, что меня огорчает последняя строка «Жизнь прожить — не поле перейти». Непостижимо, как можно было закончить такое стихотворение чугунной формулой пословицы… Серёжа отвечал искренним недоумением и рассказывал о даче в Переделкино, смотревшей окнами на кладбище за полем, тем самым полем, которое Пастернак в конце концов «перешёл» на руках несших гроб… К могиле на холме под тремя соснами… Строка была пророческой.

Мне и сейчас не нравится эта строка, хотя с тех пор многое в моих взглядах и пристрастиях изменилось. Здесь возникает вечный вопрос о соотношении художественного произведения с реальными обстоятельствами, в которых оно было создано, а также с культурологическим контекстом, его окружающим. Разумеется, мы не можем воспринимать искусство вне определённого контекста, культуры, заложенной в нас самим окружением. С другой стороны, трудно избавиться от впечатления, что некоторые стихи, некоторая музыка и т. д. воздействуют на нас непосредственно, знаем ли мы хоть что-то об авторе, его жизни, времени или нет. Т. е. для их восприятия достаточно самого элементарного, несознаваемого, молчаливого контекста культуры, в которой мы выросли. Не могу, например, забыть детских впечатлений — из жалкой тарелки репродуктора донеслась начальная формула Пятой Симфонии Бетховена. Эти четыре ноты, которые обрушил полный оркестр, потрясли меня. А ведь я ничего не знал тогда о композиторе, о судьбе, «стучащейся в дверь», и т. д. Потом были столь же неожиданные встречи с соль-минорной Симфонией Моцарта и со многим другим. Ещё одно острое ощущение детства: я играю во дворе и вдруг слышу из распахнутых окон невероятную, зажигательную музыку. Кармен поёт свою Хабанеру… Лечу домой, чтобы попытаться сыграть её на нашем стареньком Blьthner'e… Такое же впечатление оставляли некоторые пьесы, которые играла незабвенная моя бабушка… Части Сонат Гайдна, и, конечно, невероятная, бессмертная грация моцартовского рондо Alla turca … Поражали меня тогда Сказки Андерсена, а много позже — и снова вне всякого конкретного контекста — поразил своей мрачной фантазией, необыкновенной мощью и красотою звучащего Слова «Ворон» Эдгара По… Должен ли я знать что-либо о даче Пастернака, да ещё в таких подробностях, знать о драме его похорон, чтобы не ёжиться, как от ощущения фальшивой ноты в потоке чудесной музыки, от последней строки «Гамлета»? Не знаю… Трудно указать здесь какие-либо границы, и, разумеется, я говорю сейчас только о собственном восприятии, каковое может быть ущербным и, несомненно, будет объявлено таковым поклонниками замечательного Поэта. Сам Пастернак неоднократно настаивал на том, что отдельное стихотворение рассматривать бессмысленно вообще [54] См., например, Е. Пастернак, Борис Пастернак, Биография, Из-во Цитадель, Москва, 1997. . Художественное значение может иметь книга стихов, на худой конец стихотворный цикл. В этом смысле цикл стихов из романа особенно своеобразен. Ведь стихи «подарены» герою, доктору Живаго, это его стихи и соответственно в них ощущается тонкая стилизация. Мелодии этих стихов вплетены в ткань романа и, в сущности, неотделимы от него. Трудно не согласиться с упомянутой только что мыслью Пастернака. Хотя мнение это, как и всякое другое, имеет свои пределы. В художественном сознании читателя, слушателя запечатлеваются отдельные стихи, мелодии… Даже отдельные строки начинают жить собственной жизнью, вне породившего их художественного пространства… Многие строки самого Пастернака стали крылатыми, если не в народе, то в образованных кругах, и произносятся совершенно вне контекста книги или цикла стихов, в которых они появились впервые, порой даже вне контекста отдельного стихотворения.