Патрик Гардинер - Артур Шопенгауэр - Философ германского эллинизма

1 Ссылка на работу И.Г. Гердера "Metacritique of the Critique of Pure Reason" [("Метакритика кантовской критики чистого разума") 1799 г.], в которой вся кантианская доктрина геометрии и арифметики была отвергнута и заменена другой, в соответствии с которой математические утверждения имеют чисто тавтологический характер.

Насколько правдоподобными ни показались бы вам эти рассуждения, последние достижения, как в самой математике, так и в философии математики, не позволяют нам согласиться с заложенной в них главной идеей. Например, структура неевклидовых геометрий и применение одной из таких геометрий в физическом пространстве с точки зрения общей теории относительности, можно сказать, породили проблему связи геометрии и эмпирической реальности в совершенно другом свете по сравнению с тем, как ее видел Шопенгауэр. Таким образом, его настойчивое утверждение об исключительной роли перцептивной интуиции в геометрическом мышлении, с помощью которой мы осознаем, что пространственные фигуры непременно должны соответствовать требованиям Евклида, можно сказать, основывается на ошибочном понимании самой проблемы.

123

Утверждения в геометрии, поскольку она рассматривается как чисто априорная дисциплина (и Шопенгауэр рассматривает ее так же), нельзя описывать с точки зрения эмпирических свойств действительных фигур в пространстве и даже с точки зрения свойств вымышленных фигур, которые описываются в вымышленном пространстве. С этой точки зрения система, подобная Евклидовой, может быть представлена как чисто абстрактное исчисление, изначальные аксиомы которого полностью лишены фактического содержания. С другой стороны, это не означает, что такую систему невозможно применить в действительности в том смысле, как применяются те понятия, которыми она пользуется, например точка, прямая, линия, - и которые можно объяснить так, что становится возможным применять ее в тех случаях, когда говорим о вещах, которые мы познаем эмпирически.

В том случае, если такой подход к геометрии предполагает независимое объяснение в соответствии с определенными правилами (например, прямая линия представляет собой световой луч), то это уже дело эмпирического исследования установить истинность аксиом и теорем (которые объяснены таким образом) или применить методы наблюдения и экспериментирования: в таком случае геометрию, о которой идет речь, можно назвать эмпирической теорией. Однако было бы ошибочно объединять эти различимые аспекты геометрии и считать, что мы имеем дело с рядом утверждений, истинность которых можно доказать, априорно признавая природу пространственных связей.

Шопенгауэр сам признает, что нельзя установить истинность геометрической теоремы только с помощью чертежа, так как чертеж может быть выполнен неверно. Однако разве возможно на основании этого делать вывод, что мы обладаем "чистой" интуицией или ощущением пространства, "абсолютно независимо от органов чувств", и что только благодаря этой чистой интуиции

124

становится очевидной необходимость утверждений геометрии? Разве не обстоит дело так, что если мы действительно признаем их неизбежными, то мы не позволим опровергнуть их или признать ошибочными на основании примеров из нашего чувственного опыта, таким образом объясняя данную теорему как критерий независимо от того, был ли чертеж выполнен или измерен верно? И если это так, то окажется, что применение теоремы докажет не существование априорной интуиции в понимании Шопенгауэра, а способ, с помощью которого мы достигаем понимания и готовы применить определенные понятия.

Рассмотрим пример, который приводит сам Шопенгауэр: мы можем просто исключить возможность применения выражения "равносторонний треугольник" к фигуре, углы которой не равны. Шопенгауэр, несомненно, был потрясен тем соображением, что в некотором роде невообразимо, чтобы аксиомы и теоремы евклидовой геометрии были неверны, и он почувствовал, что это лишь невозможность представления аксиом и теорем в виде пространственных фигур: например, как возможно представить себе пространство, заключенное между двумя прямыми? Но на это можно возразить, что "невозможность представить себе" отражает нашу приверженность определенной системе понятий, и из-за этой приверженности мы не сможем считать линию прямой; или что некая фигура соответствует определенному описанию, если не будут соблюдены требования геометрии.

125

Размышления Шопенгауэра об арифметике также вызывают затруднения. Сегодня мало кто из философов согласится с тем, что он говорит о таком примере, как "7 + 5 = 12"; современный взгляд на этот вопрос, который получил значительное развитие в свете исследований основ математики, проводившихся в начале XIX столетия Готлибом Фреге и Бертраном Расселом, полностью отрицает синтетическую априорную концепцию арифметики Канта, и можно сказать, что этот взгляд скорее ближе к тому, который Шопенгауэр приписывает Гердеру, чем к его собственному. Другими словами, арифметические формулы больше не рассматриваются, как будто они неким мистическим образом "передают" наш опыт или "предваряют" его, хотя они могут применяться (и в действительности применяются) в эмпирическом смысле.

Рассмотрим простой пример: если мне известно, что в одной коробке есть 7 шоколадных конфет, а в другой - 5, то очевидно, что в двух коробках 12 конфет. Таким образом, "результат" (если его можно так назвать) свидетельствует о применении формулы "7 + 5 - 12". Но эта формула заключает в себе всего лишь правило, согласно которому определенное числовое выражение можно преобразовать в другое (эквивалентное ему) выражение. Если принять такую трактовку вопроса, то арифметическое объяснение рассматривается не более чем некий концептуальный технический прием, применяемый как способ показать смысл сказанного, когда мы описываем или характеризуем наш опыт в цифровом виде. Теперь мы можем предположить, что, когда Шопенгауэр говорил о редукции арифметических операций к "счету", именно это он и имел в виду. Но если это действительно так, то его способ выражения, мягко говоря, ведет к заблуждению, так как необходимо помнить, что он писал, будто бы такие операции и составляют счет, который показывает существенную связь между арифметическими вычислениями и нашим осознанием следующих друг за другом мгновений во времени. В свете того, что было сказано выше, однако, может показаться, что счет (в смысле, когда мы считаем различаемые объекты), являясь условием эмпирического применения таких действий, как вычитание, умножение и т. д., не может отождествляться с этими действиями.

126

А дело скорее обстоит таким образом, что счет является одним из способов (другим является измерение), посредством которых вычисляются данные при проведении точных исследований или при решении практических задач. Например, мне необходимо разделить некоторое количество каких-либо предметов - скажем, золотых соверенов - поровну среди нескольких людей, и в этом случае арифметика позволит мне легко осуществить это, но только сначала я должен определить количество соверенов, которые я буду делить, и количество людей, кому буду их отдавать, что я сделаю, сосчитав монеты и людей, чтобы получить необходимые данные, а не придумывая задачи на сложение.