Журнал «Юный техник» - Юный техник, 2009 № 11

11. а) Изобразите на координатной плоскости фигуру М , состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

б) Найдите площадь фигуры М .

12. Решите уравнение:

13. Дана окружность с центром в точке О радиуса 2.

Из конца отрезка ОР , пересекающегося с окружностью в точке К , проведена касательная РЕ к окружности ( Е — точка касания), причем L ЕРО = 60°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков РЕ, РК и дуги КЕ .

14. Известно, что sinα + sin3α = 0,7. Найдите значение выражения cos6α — cos 2α + 2cos4α.

1. В сосуде с горизонтальным дном и вертикальными стенками налита вода. Площадь основания внутренней части сосуда S = 25 см 2. Металлический цилиндр с площадью основания S 1 = 10 см 2установили торцом на дно сосуда. При этом уровень воды составляет h 1 =10 см, а верхний торец цилиндра выступает из воды. Определите массу воды в сосуде.

2. Населенные пункты А и Б , расстояние между которыми L = 70 км, соединяет прямолинейный участок шоссе. Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу начинают движение автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля равна 80 км/ч. На рисунке представлен график, на котором показано, как изменилось расстояние между ними с момента выезда до момента встречи. Найдите скорость автобуса.

Через какое время после момента встречи с легковым автомобилем автобус доедет до пункта Б ? Считать, что скорости автобуса и автомобиля оставались постоянными во время всего движения.

3. Три бегуна участвуют в забеге на 400 м, располагаясь на соседних дорожках. Спортсмен, стартовавший по первой дорожке, финишировал первым через 56 с, бегун на третьей дорожке отстал от победителя на 2 с. Определите скорость бегуна на второй дорожке, если известно, что в момент финиша победителя все три бегуна располагались на одной прямой. Скорости бега спортсменов считать постоянными на всей дистанции.

4. Пружина динамометра имеет в недеформированном состоянии длину l 0 = 20 см. Под действием силы F = 1H она удлинилась на 1 %. Если к этому динамометру подвесить медный шар, то пружина удлинится на Δl = 5 мм.

Чему равен объем медного шара? Считать g = 9,8 Н/кг.

5. Сосуд с вертикальными стенками состоит из двух цилиндров: нижнего узкого высотой Н и площадью поперечного сечения S 1 и верхнего широкого площадью поперечного сечения S 2 . При наливании в сосуд воды объемом V 1 уровень воды устанавливается ниже H , а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р 1. При доливании в сосуд воды объемом V 2 уровень воды поднимается выше H , а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р 2 . Найдите Н и S 1 , считая величины S 2, V 1,V 2, Р 1, Р 2 и плотность воды известными. Атмосферное давление не учитывать.

6. Тонкостенный стакан цилиндрической формы плавает в вертикальном положении дном вниз в сосуде с водой. Высота части стакана, находящейся в воде, равна h , высота всего стакана равна Н . Какой максимальной толщины слой масла можно долить в стакан, чтобы он еще не утонул? Плотность масла и воды известны.

7. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра разной длины, прижатых друг к другу торцами. Цилиндры имеют одинаковые площади поперечного сечения, но изготовлены из материалов с плотностями ρ 1 = ρ и ρ 2 = 2ρ . Оказалось, что стержень будет находиться в равновесии в горизонтальном положении, если его подвесить на нити, закрепленной на месте стыка. Определите отношение масс цилиндров.

8. Экспериментатору требуется нагреть воду от t 1 = 10 °C до температуры кипения при нормальных условиях. Для этого он одновременно включает в сеть два нагревателя. Первый нагреватель, имеющий мощность P 1 = 500 Вт, установлен в стеклянном сосуде массой m c,1 = 200 г, содержащем V 1 = 0,5 л воды. Второй нагреватель имеет мощность Р 2 = 1,2 кВт и установлен в стеклянном сосуде массой m c,2 = 500 г, содержащем V 2 = 1 л воды. В каком из сосудов вода нагреется быстрее? Найдите время, необходимое для нагревания воды до температуры кипения в каждом из сосудов. Считать начальные температуры воды и сосудов равными, потерями теплоты пренебречь.

Удельная теплоемкость воды с в = 4200 Дж/(кг∙°С), удельная теплоемкость стекла с с = 840 Дж/(кг∙°С).

9. В сосуд, где находится вода при температуре t в = 90 °C, помещают нагретый стальной брусок массой, равной массе воды. Найдите начальную температуру стального бруска, если известно, что после прекращения кипения в сосуде установилась температура t = 100 °C и уровень воды остался первоначальным.

Удельная теплоемкость воды с в = 4200 Дж/(кг∙°С), удельная теплоемкость стали с ст = 460 Дж/(кг∙К), удельная теплота парообразования воды L в= 2,26–10 6Дж/кг при температуре кипения, плотность стали ρ ст = 7800 кг/м 3, плотность воды ρ в = 1000 кг/м 3. Потерями теплоты на нагревание сосуда и окружающего пространства и изменением плотности воды при нагревании пренебречь.

10. Из проволоки постоянного поперечного сечения изготовлен квадрат ABCD . При подключении источника постоянного напряжения при помощи проводов с малым сопротивлением по сравнению с сопротивлением проволоки к соседним вершинам квадрата А и В полная сила тока в цепи равна 64 мА. Какой силы ток будет протекать по стороне AD , если тот же источник напряжения подключить к вершинам А и С ?

11. Мотоциклист разгоняется с места с ускорением а = 2 м/с 2. Определите длину участка разгона, время разгона и скорость в конце участка разгона, если известно, что первая половина участка была пройдена мотоциклистом за 3 с.

12. Неподвижный снаряд взрывается в некоторой точке над землей. При этом образуется множество осколков. Осколки, образовавшиеся при взрыве, разлетаются во все стороны с одинаковыми по модулю скоростями.

Время полета осколка, упавшего на землю раньше других, равно t 1 , а время полета осколка, упавшего позже всех, равно t 2 . Определите радиус области падения на землю осколков, полетевших горизонтально. Сопротивление воздуха не учитывать.