БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

Предмет теории вероятностей.Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и событием А, наступление или не наступление которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

б) При условиях S событие А имеет определённую вероятность P ( A / S ) , равную р. Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо число N атомов.

Назовем частотой события А в данной серии из n испытаний (то есть из n повторных осуществлений условий S ) отношение h = m/n числа m тех испытаний, в которых А наступило, к общему их числу n. Наличие у события А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р.

Статистические закономерности, то есть закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны также статистические закономерности рождения, смерти (например, вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п.

Возможность применения методов В. т. к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет В. т.

Основные понятия теории вероятностей.Наиболее просто определяются основные понятия В. т. как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной В. т. Каждое испытание Т, рассматриваемое в элементарной В. т., таково, что оно заканчивается одним и только одним из событий E 1 , E 2 ,..., E S(тем или иным, в зависимости от случая). Эти события называются исходами испытания. С каждым исходом E k связывается положительное число р к— вероятность этого исхода. Числа p k должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события А, заключающиеся в том, что «наступает или E i, или E j,..., или E k ». Исходы E i, E j,..., E k называются благоприятствующими А, и по определению полагают вероятность Р ( А ) события А , равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов:

P ( A ) = p i + p s + … + p k. (1)

Частный случай p 1= p 2=... p s= 1/S приводит к формуле

Р ( А ) = r/s. (2)

Формула (2) выражает так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо события А равна отношению числа r исходов, благоприятствующих А, к числу s всех «равновозможных» исходов. Классическое определение вероятности лишь сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности», которое остаётся без ясного определения.

Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен ( i , j ) , где i — число очков, выпадающее на первой кости, j — на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию А — «сумма очков равна 4», благоприятствуют три исхода (1; 3), (2; 2), (3; 1). Следовательно, Р ( A ) = 3/36 = 1/12.

Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие В называется объединением событий A 1, A 2,..., A r,-, если оно имеет вид: «наступает или A 1, или А 2,..., или A r ».

Событие С называется совмещением событий A 1, А. 2,..., A r, если оно имеет вид: «наступает и A 1, и A 2,..., и A r » . Объединение событий обозначают знаком È, а совмещение — знаком Ç. Таким образом, пишут:

B = A 1 È A 2 È … È A r , C = A 1 Ç A 2 Ç … Ç A r .

События А и В называют несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.

С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две основные теоремы В. т. — теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события A 1, A 2,..., A r таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.

Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие В — «сумма очков не превосходит 4», есть объединение трёх несовместных событий A 2, A 3, A 4, заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятность Р ( В ) равна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Условную вероятность события В при условии А определяют формулой

что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События A 1, A 2,..., A rназываются независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его «безусловной» вероятности (см. также Независимость в теории вероятностей).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событий A 1, A 2,..., A rравна вероятности события A 1, умноженной на вероятность события A 2, взятую при условии, что А 1наступило,..., умноженной на вероятность события A rпри условии, что A 1, A 2,..., A r-1наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле:

P ( A 1 Ç A 2 Ç … Ç A r ) = P ( A 1 ) · P ( A 2 ) · … · P ( A r ) , (3)

то есть вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях некоторые из событий заменить на противоположные им.

Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?