БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ В. т. разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи — методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов u, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из событий А связываются определённые числа Р ( A ), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям

1. 0 £ Р ( А ) £ 1,

2. P ( U ) = 1,

3. Если события A 1 ,..., A n попарно несовместны и А — их сумма, то

Р ( А ) = Р ( A 1 ) + P ( A 2 ) + … + Р ( A n ) .

Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть основные свойства меры множества. В. т. может, таким образом, с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории. Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математические ожидания — в абстрактные интегралы Лебега и т.п. Однако основные проблемы В. т. и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математические ожидания и т.п.

Предельные теоремы.При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки над ее элементарными разделами, в которых все задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Бернулли теорема показывает, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математическое ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших чисел закон. Предельные теоремы теории вероятностей).

Пусть

X 1, Х 2,..., X n, ... (7)

— независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с EX k= а, DX k = s 2и Y n— среднее арифметическое первых n величин из последовательности (7):

Y n= ( X 1+ X 2+ … +X n ) /n.

В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было e > 0, вероятность неравенства |Y n— a| £ e имеет при n ®¥ пределом 1, и, таким образом, Y n как правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Y n от а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией s 2/ n. Таким образом, для определения вероятностей тех или иных отклонений Y n от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин X n, достаточно знать лишь их дисперсию.

В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, например, если X 1время до первого возвращения некоторой случайно меняющейся системы в исходное положение, Х 2— время между первым и вторым возвращениями и т.д., то при очень общих условиях распределение суммы X 1 +... + X n (то есть времени до n- го возвращения) после умножения на n 1 / a ( а — постоянная, меньшая 1) сходится к некоторому предельному распределению. Таким образом, время до n- г о возвращения растет, грубо говоря, как n 1 / a, то есть быстрее n (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка n ).

Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

Случайные процессы.В ряде физических и химических исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы, то есть процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных величин Х ( t ) . В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, например, точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция называется случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для X ( t 1 ) , X ( t 2 ) ,..., X ( t n ) для всевозможных моментов времени t 1, t 2,..., t n при любом n > 0. В настоящее время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях.

Исторически первыми изучались марковские процессы. Случайный процесс Х ( t ) называется марковским, если для любых двух моментов времени t 0 и t 1 ( t 0< t 1 ) условное распределение вероятностей X ( t 1 ) при условии, что заданы все значения Х ( t ) при t £ t 0 , зависит только от X ( t 0 ) (в силу этого марковские случайные процессы иногда называют процессами без последействия). Марковские процессы являются естественным обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классической физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени t 0 однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени t 0 однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при t > t 0 , причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени t 0 не изменяют это распределение.

Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность процесса, то есть неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (например, возможность так называемого спектрального разложения