БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ОР)

Определитель | A | О. м. равен +1 или —1. При перемножении двух О. м. снова получается О. м. Все О. м. порядка n относительно операции умножения образуют группу , называемую ортогональной. При переходе от одной прямоугольной системы координат к другой коэффициенты a ij в формулах преобразования координат

образуют О. м. См. также Унитарная матрица .

Ортогона'льная прое'кция,частный случай параллельной проекции , когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования.

Ортогона'льная систе'ма фу'нкций,система функций {(j n ( x )}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом r ( х ) на отрезке [ а , b ], т. е. таких, что

Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx , sin nx ; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—p, p]. Бесселя функции , где n = 1, 2,..., — положительные нули J n( x ), образуют для каждого n > — 1/ 2О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l ].

Если каждая функция j ( х ) из О. с. ф. такова, что (условие нормированности), то такая система функций называется нормированной. Любую О. с. ф. можно нормировать, умножив j ( х ) на число — нормирующий множитель.

Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма — Лиувилля задачи для уравнения [r( х ) у' ] ' + q ( x ) y = l у , удовлетворяющих граничным условиям у ( а ) + hy' ( a ) = 0, y ( b ) + Hy' ( b ) = 0, где h и Н — постоянные. Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом r ( х ) на отрезке [ a , b ].

Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — ортогональные многочлены — был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.— задача о разложении функции f ( x ) в ряд вида , где {j п ( х )} — О. с. ф. Если положить формально , где {j п ( х )} — нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на j п ( х ) r( х ) и интегрируя от а до b , получим:

(*)

Коэффициенты С п , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {j n ( x )}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом r( х ):

(*)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида . Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя

Ряд с коэффициентами С п , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f ( x ) по нормированной О. с. ф. {j n ( x )}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f ( x ) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f ( x ) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций j k ( x ), то есть в этом случае говорят, что ряд сходится в среднем к функции f ( x )]. 2) Для всякой функции f ( x ), квадрат которой интегрируем относительно веса r( х ), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова:

3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [ a , b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям j n ( x ), n = 1, 2,....

Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства , то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова — Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.