БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ПЕ)

Рис. 2. Двумерно (а) и трёхмерно (б) периодические структуры: d 1, d 2, d 3— периоды структур.

Периоди'ческая фу'нкция,функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2 p ; { x } — дробная часть числа х — П. ф. с периодом 1; показательная функцияe x (если х — комплексное переменное) — П. ф. с периодом 2 pi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т ; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT , где k = ±1, ± 2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f ( x ) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда . Фундаментальная теорема теории П. ф. утверждает, что П. ф. f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T ) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:

;

коэффициенты этого ряда выражаются через f ( x ) по формулам Эйлера — Фурье (см. Тригонометрические ряды , Фурье коэффициенты ).

Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T 1 и T 2 , отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k 1T 1+ k 2T 2 , где k 1 = 0,±1, ±2,... и k 2 = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией. Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f ( x + T 1) = a 1f ( x ) и f ( x + T 2 ) = a 2f ( x ) или f ( x + T 1 ) = и f ( x + T 2 ) -= e a 2 xf ( x ) ].

Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cos ) не есть П. ф.]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций. П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.

Периоди'ческие возмуще'нияв астрономии, см. в ст. Возмущения небесных тел.

Периоди'ческие психо'зы,повторно возникающие психические расстройства. Учение о П. п. зародилось в 40-х гг. 20в. и разрабатывалось преимущественно советскими психиатрами (Г. Е. Сухарева, Р. Я. Голант, А. З. Розенберг, Т. Б. Никонова и др.). Заболевания связывают с наследственным предрасположением, для реализации которого необходим внешний толчок — переутомление, инфекция, психическая или физическая травма. Согласно др. точке зрения, принятой в современной психиатрии, П. п.— вариант течения шизофрении или маниакально-депрессивного психоза. В клинической картине преобладают возбуждение, тревога, страх, возможны помрачения сознания, галлюцинации. Характерны острое начало и быстрое (через 2—3 нед , иногда через несколько сут ) выздоровление. П. п. хорошо поддаются лечению психотропными средствами. В межприступные периоды психика больных вполне сохранна.

Периоди'ческие реше'нияуравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений

, i = 1,..., n (1)

Это такие решения y i= j i ( t ), которые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t , то есть для всех значений t

j i ( t + t ) = j i ( t )

где t > 0—период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции f i= F i ( y i ,.... y n ), где i = 1,..., n , явным образом не зависят от t , то в фазовом пространстве ( y i ,..., y i ) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя , где , которым соответствуют тривиальные (постоянные) П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений специальных типов.

В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений

, (2)

фазовым пространством которой является плоскость ( х , у ) . Точки покоя системы ( 2 ) находятся из системы уравнений: Р ( х , у ) = 0, Q ( x , у ) = 0. Система ( 2 ) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если (критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных П. р. системы ( 2 ) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области K (см. рис. ), что все траектории входят в неё при t ® +¥ или при t ® -¥ ; если область К не содержит точек покоя системы ( 2 ), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, которой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре — Бендиксона). Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы ( 2 ) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р.