БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ПО)

С развитием исследований сложных физических и физико-химических процессов, включающих механические, тепловые и химические явления, развиваются и методы П. т. для этих процессов, например, устанавливаются условия подобия процессов трения и износа деталей машин, кинетики физико-химических превращений и др. явлений. Пропорциональность для подобных явлений всех характеризующих их параметров приводит к тому, что все безразмерные комбинации, которые можно составить из этих параметров, имеют для подобных явлений одинаковые численные значения. Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров рассматриваемых явлений, называются критериями подобия. Любая комбинация из критериев подобия также представляет собой критерий подобия рассматриваемых физических явлений.

Если в рассматриваемых физических явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиболее часто встречается на практике. При этом существенно, чтобы влияние на протекание рассматриваемых физических процессов критериев, равенство которых не соблюдается, было незначительным или малосущественным.

Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения; одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это свойство подобных систем и составляет основу моделирования.

С. Л. Вишневецкий.

Ниже более строго излагаются логические основы П. т. Предположим, что для описания изучаемых явлений употребляются r основных независимых единиц измерения A 1, А 2,. .., A r (например, в абсолютных системах единиц основными являются единицы длины L, массы М и времени T ). Производные единицы измерения имеют вид: . Их размерность характеризуется числовыми показателями p 1, p 2,.. ., p r. Каждая величина Х размерности [ Х ] = [ Q ] представляется в виде: X = xQ, где х — числовое выражение величины Х при выбранной системе основных величин A 1, А 2,. .., A r.

Пусть изучается класс явлений S , каждое из которых определяется заданием определённых значений системы величин { Y a}. Два таких явления S ( 1 )и S (2)называются подобными, если значения величин Y a (2), характеризующие явление S (2)получаются из значений соответствующих величин Y a (1) , характеризующих явление S (1)по формулам:

,

где коэффициент подобия k 1, k 2, ..., k r постоянны, а показатели p 1, p 2,.. ., p r определяются размерностью.

величин Y a.

Предположим, что из системы величин { Y a} выделена некоторая часть, образующая систему { Х b} определяющих параметров, так что числовое значение y z любой величины Y aявляется функцией Y a = f a{ x b} числовых значений x bвеличин X bи вид функциональных зависимостей f aостаётся одним и тем же при любом выборе основных единиц измерения A 1, A 2,..., A r. В этом предположении основной принцип П. т. может быть сформулирован следующим образом. Для подобия явлений S ( 1 )и S (2)необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации

, (1)

определяющих параметров в явлениях S (1)и S (2)были равны: k ( 1 ) = k ( 2 ) .

Каждое безразмерное выражение k вида (1) называется критерием подобия. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все отношения вида:

, (2)

где и — определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k ( 1 ) = k ( 2 )в применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (2) очевидна непосредственно. Их можно называть тривиальными. Сами отношения k вида (2) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия k ( 1 ) = k ( 2 )считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k ( 1 ) = k ( 2 )имеется только s = n — r' независимых, где n — число различных размерностей величин системы { Х b }, а r' — число независимых размерностей среди этих n размерностей. Т. к. всегда r' £ r, то s < n — r.

Например, геометрическая картина стационарного обтекания прямоугольной пластинки, помещенной в однородный неограниченный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности, параллельной продольной стороне пластинки, определяется: 1) длиной пластинки l, 2) её шириной b, 3) скоростью потока на бесконечности u , 4) кинематический коэффициент вязкости n. Т. к. [ b ] = [ l ], [n] = [u l ], то среди трёх размерностей определяющих параметров имеются лишь две независимые, т. е. r' = 2 и s = n — r' = 3 — 2 = 1. В соответствии с этим имеется один нетривиальный критерий подобия — число Рейнольдса Re = u l/ n . Кроме того, имеется один тривиальный критерий подобия b/l. Если исследуемые явления изучаются при помощи дифференциальных уравнений, то определяющие параметры появляются: 1) в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, 2) в виде коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к безразмерному виду в них остаются лишь безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями подобия.

Например, уравнения стационарного движения несжимаемой вязкой жидкости

, , i = 1, 2, 3

( р — давление жидкости, u i— компоненты скорости, x i— декартовы координаты) приводятся к безразмерному виду преобразованием

x i= x il, u i= h i u , p = xru 2

В новых переменных x i, h i, x уравнения имеют вид:

,