БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ТО)

4. Кусочно-линейная топология

Подмножество Р Î называется конусом с вершиной а и основанием В , если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab , где b Î В. Подмножество Х Î называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f : X ® Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х Î X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.

Подмножество Х Î тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов , пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:

а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К ; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называются n -мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C n (K; G) ;

б) выбросив из упорядоченного n -мерного симплекса s вершину с номером i , 0 £ i £ n, получим упорядоченный ( n— 1)-мерный симплекс, который обозначается символом s ( i ); цепь называется границей s; по линейности отображение распространяется до гомоморфизма : C n(K; G) ® C n -1 (K; G) ;

в) цепи с , для которых = 0, называются циклами, они составляют группу циклов Z n(K; G);

г) цепи вида называются границами, они составляют группу границ B n(K; G) ;

д) доказывается, что B n(K; G) Ì Z n(K; G) (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа

H n(K; G) = Z n(K; G)/ B n(K; G) .

Оказывается, что группа H n(K; G) изоморфна группе гомологий H n(X; G) полиэдра X , триангуляцией которого является К . Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G ), даёт группы когомологий.

С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре.

Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией).

Произвольному открытому покрытию { U a} каждого топологического пространства Х можно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы U aпокрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство Х и, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X . Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.

5. Топология многообразий

Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n- мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству . В этой окрестности точки задаются n числами x 1, … , x n, называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в , называются гомеоморфизмом перехода.

Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из называть t -гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p -гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, — s -гомеоморфизмом.