БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ТО)

В частности, на сфере S nсуществует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S nможет быть много, например, на S 7существует 28 различных гладких структур. На торе T n(топологических произведении n экземпляров окружности S 1) существует при n ³ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.

Задачу описания (с точностью до a-гомеоморфизма) всех n -мерpных ( n ³ 5) связных компактных a-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности a-многообразий и условия a-гомеоморфности гомотопически эквивалентных a-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных a-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для n -мерных ( n ³ 5) топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей).

Наряду с a-многообразиями можно рассматривать так называемые a-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) a-гомеоморфны полупространству X n³ 0 пространства . Край является ( n— 1)-мерным a-многообразием (вообще говоря, несвязным). Два n -мерных компактных a-многообразия Х и Y называются (ко) бордантными, если существует такое ( n +1)-мерное компактное a-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, a-гомеоморфных Х и У . Если отображения вложения X ® W и Y ® W являются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называются h -кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при n ³ 5 односвязные компактные a-многоооразия a-гомеоморфны, если они h -кобордантны. Эта теорема о h -кобордизме доставляет сильнейший способ установления a-гомеоморфности a-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных a-многообразий.

Совокупность классов кобордантных компактных a-многообразий является по отношению к операции связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс a-многообразий, являющихся краями, то есть кобордантных нулю. Оказывается, что эта группа при a = s изоморфна гомотопической группе p 2n+1 MO ( n+ 1) некоторого специально сконструированного топологического пространства MO ( n+ 1), называется пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при a = p , t . Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу . В частности, оказывается, что группа является прямой суммой групп ℤ 2в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2 m—1. Например, = 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем). Напротив, = ℤ 2 , так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость P 2.

М. М. Постников.

6. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18—19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое — М. Фреше , топологическое — Ф. Хаусдорф ), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег , Л. Брауэр ), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре ) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон ); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров ); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов ); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин , основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун — чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер , А. Н. Колмогоров ) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф , Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).