Альфред Фрост - Волновой принцип Эллиотта: Ключ к пониманию рынка

Вскоре после того, как отец Леонардо был назначен таможенным чиновником в североафриканскую Боджию, он распорядился, чтобы сын присоединился к нему с целью завершения образования. Леонардо стал совершать многочисленные деловые поездки по Средиземноморью. После одного из путешествий в Египет он опубликовал свой знаменитый труд «Liber Abacci» («Книга исчислений»), в котором представил Европе одно из величайших математических открытий всех времен, называемое десятичной системой счисления, и в том числе нуль в качестве первой цифры числового ряда этой системы. Эта система, включающая знакомые всем символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, стала известна как индо-арабская и теперь используется повсеместно.

В рамках этой системы, предусматривающей разрядность числа, величина, представленная любым из символов, помещенным в ряд с другими символами, зависит не только от его номинальной величины, но и от положения в ряду. Так, 58 и 85 имеют различную величину. Хотя за тысячи лет до этого жители Вавилона и индейцы майя в Центральной Америке независимо друг от друга изобрели подобные системы счисления, имеющие разряды, их методы были неудобны в других отношениях. По этой причине вавилонская система, в которой впервые использовались ноль и разряд числа, так и не была принята математическими системами Греции или Рима, включавшими семь символов: I, V, X, L, С, D и М, с которыми были связаны величины, не имевшие разрядов. Сложение, вычитание, умножение и деление оказывались в такой безразрядной системе нелегкими задачами, особенно когда речь шла о больших числах. Парадоксально, но для решения этой проблемы римляне использовали очень древнее разрядное устройство, известное под названием абака. Поскольку этот инструмент основан на разрядности и использует ноль, он применялся как необходимое подспорье в римской вычислительной системе. На протяжении веков бухгалтеры и купцы полагались на него как на помощника в механизации стоявших перед ними задач. Фибоначчи после описания основного принципа абака в «Liber Abacci» начал использовать свою новую систему во время путешествий. Благодаря его усилиям, новая система с ее простым методом вычислений в конце концов прижилась в Европе. Постепенно римские цифры были заменены арабской числовой системой. Введение новой системы в Европе стало первым важным достижением в области математики за семь столетий со времен падения Рима. Фибоначчи не только дал возможность выжить математике в Средние века, но и заложил основу для великих открытий в области высшей математики и связанных с ней областях физики, астрономии и инженерии.

Хотя позже мир почти потерял Фибоначчи из виду, он, без сомнения, был выдающимся человеком своего времени. Его известность была настолько велика, что Фредерик II, сам ученый и исследователь, искал знакомства с ним и для этого организовал визит в Пизу. Фредерик II был императором Священной Римской империи, королем Сицилии и Иерусалима, потомком двух наизнатнейших семей Европы и Сицилии и самым влиятельным государем того времени. Он ратовал за абсолютную монархию и окружал себя пышностью, приличествующей императору.

Встреча Фибоначчи и Фредерика II произошла в 1225 г. и была весьма важным событием для Пизы. Император ехал во главе длинной процессии, состоящей из трубачей, придворных, рыцарей, чиновников и животных из императорского зверинца. Некоторые из проблем, поставленных императором перед великим математиком, рассмотрены в «Liber Abacci». По-видимому, Фибоначчи решил поставленные императором задачи, поскольку с тех пор всегда был желанным гостем при дворе. Когда в 1228 г. Фибоначчи подверг ревизии «Liber Abacci», он посвятил исправленное издание Фредерику II.

Будет почти преуменьшением сказать, что Леонардо Фибоначчи был величайшим математиком Средневековья. Его перу принадлежат три выдающихся математических труда: «Liber Abacci», опубликованная в 1202 и переизданная в 1228 г., «Practica Geometriae», изданная в 1220, и «Liber Quadratorium». Восхищенные граждане Пизы в 1240 г. подтвердили документально, что он был «благоразумным и ученым мужем», а совсем недавно Джозеф Гайз, старший редактор «Encyclopedia Britannica», заявил, что будущие исследователи со временем «воздадут должное Леонарду Пизанскому как одному из величайших в мире пионеров мысли». Его работы лишь теперь, спустя сотни лет, переведены с латыни на английский язык. Заинтересованные читатели могут обратиться к книге Дж. и Ф. Гайз «Леонард Пизанский и новая математика Средних веков», превосходному трактату, посвященному работам Фибоначчи и тем временам, когда они были написаны.

Несмотря на то что Фибоначчи был величайшим математиком Средневековья, его памяти посвящены лишь статуя, стоящая напротив Пизанской башни на другом берегу реки Арно, и две улицы, носящих его имя: одна в Пизе, а другая во Флоренции. Кажется странным, что среди несметных полчищ туристов, приходящих посмотреть на 179-футовую мраморную башню, лишь очень немногие хотя бы слышали имя Фибоначчи или видели его статую. Фибоначчи был современником Бонанны, архитектора, воздвигшего башню, строительство которой началось в 1174 г. Оба эти человека внесли свой вклад в мировую историю, но тот, чье влияние значительно превышало заслуги другого, остался почти неизвестным.

В «Liber Abacci» поставлена задача, из решения которой возникает последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее до бесконечности, сегодня известная как последовательность Фибоначчи. Задача формулируется следующим образом:

«Сколько пар кроликов, помещенных в закрытое пространство, можно получить за один год от одной пары кроликов, если каждая пара приносит каждый месяц, начиная со второго, новую пару?»

В поисках решения мы обнаруживаем, что каждой паре, включая первую, требуется месяц для созревания, но, начав плодиться, она приносит ежемесячно новую пару. К началу второго месяца у нас по-прежнему только одна пара. Таким образом возникает последовательность 1, 1. Эта первая пара в конце концов удваивает свое количество во время второго месяца, так что в начале третьего месяца имеется две пары кроликов. После этого старшая пара приносит третью пару в следующем месяце, так что в начале четвертого месяца последовательность расширяется до 1, 1, 2, 3. Из этих трех пар приносят потомство две старшие пары, а самая молодая – нет, и количество пар кроликов доходит до пяти. В следующем месяце потомство приносят три пары, а последовательность расширяется до 1, 1, 2, 3, 5, 8 и т. д. На рис. 3–1 показано древо популяции кроликов, где видно, что популяция растет с экспоненциальным ускорением. Если продолжать последовательность в течение нескольких следующих лет, цифры станут астрономическими. Через 10 месяцев, например, нам пришлось бы возиться с 3544224848179261915075 парами кроликов. Последовательность Фибоначчи, возникающая из задачки про кроликов, обладает многими интересными свойствами. Например, отношения между ее членами, находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга, почти не изменяются.