Александр Александров - Цифровые методы анализа будущего

Запишем формулы расчета обоих определителей в общем виде:

Имеется матрица 3×3, тогда:

δ = am – kb

Δ = (amr + bno + kcp) – (omc + kbr + anp)

Для того чтобы вы смогли запомнить данные формулы, запишем способы их составления и запоминания.

Итак, δ = am – kb.

Обратите внимание на буквы, входящие в формулу, и на матрицу. Хорошо видно, что все четыре буквы сами составляют квадратную матрицу, только 2×2. Выпишем ее отдельно:

Теперь мы можем записать, что малый определитель равен разности между произведениями чисел первой и второй диагоналей, где:

первая диагональ – это числа a, m,

вторая диагональ – это числа k, b,

что позволяет записать формулу: δ = am – kb.

Для запоминания формулы вычисления большого определителя

Δ = (amr + bno + kcp) – (omc + kbr + anp)

нам потребуется знание правила «треугольников», которое выглядит следующим образом. На числах матрицы 3×3 зарисовывают треугольники, вершины которых показывают, какую тройку чисел мы должны перемножить друг с другом:

положительные тройки чисел

отрицательные тройки чисел

геометрические зарисовки треугольников (или троек чисел).

Обратите внимание на то, что треугольники выбирают так, что одна из сторон должна быть параллельна одной из диагоналей матрицы, тогда вершины треугольников укажут нужные тройки чисел, включая тройки чисел диагоналей.

Теперь запишем тройки произведений чисел:

Настало время объяснить, для чего же нам понадобились эти самые определители. Начнем с того, что после всех расчетов по формулам мы обнаружим, что каждый из определителей – всего лишь число, которое может соответствовать одному из возможных вариантов:

– малый определитель δ может быть: δ > 0, δ < 0 или δ = 0;

– большой определитель Δ может быть: Δ ≠ δ или Δ = 0.

Так как малый определитель для различных матриц может принимать три разных значения, а большой определитель мы учитываем только в двух вариантах, тогда совместное их использование дает нам всего шесть возможных вариантов их сочетания, что полностью совпадает с числом линий второго порядка, которые мы рассматривали в предыдущей главе.

Проще говоря, данные определителей дают возможность определить вид кривой второго порядка, которая задается данной конкретной матрицей.

Обратите внимание! Мы имеем полное право использовать данную классификацию даже в отношении произвольных матриц, так как мы не будем графически строить данные кривые, нас будет интересовать только вид кривой. Из курса алгебры хорошо известно, что любые преобразования элементов матрицы не меняют знака определителя и не способны изменить его значения, если определитель равен нулю, что для нас важно и абсолютно достаточно.

Извините, последнее замечание весьма важное, так как профессиональные математики могут на нас серьезно рассердиться, поскольку в теории матриц кривых второго порядка есть существенные ограничения на числа, входящие в данные матрицы. Однако наше замечание полностью устраняет данные препятствия, делая наш метод научным, а не «хитрой придумкой без основ».

Вы уже обратили внимание на некоторые неудобства и трудности (нужна предельная внимательность в записях чисел) при расчете большого определителя (Δ). Согласитесь, что данный расчет отнимает много времени, да и глаза устают искать нужные цифры в матрице.

Однако тем и хороши математики, что, придумав заморочку, всегда находят более легкие пути ее обхода. Именно поэтому спешу вам сообщить, что существует несколько достаточно простых правил (способов), помогающих с одного взгляда, без утомительных расчетов сказать, что данный большой определитель равен нулю ( Δ = 0). Заметим, что все правила применимы и к малому определителю. Итак,

Правило 1

Если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец (состоят из одних нулей), то большой определитель равен нулю Δ=0.

Правило 2

Если в матрице имеются две одинаковые строки или два одинаковых столбца (совпадают по числам и местам, на которых они стоят), то большой определитель данной матрицы равен нулю Δ=0.

Правило 3

Если в матрице первая или вторая строка, а также первый или второй столбец нулевые (состоят из одних нулей), то в такой матрице оба определителя будут равны нулю δ=0, Δ=0.

Правило 4

Если в матрице первая и вторая строка или первый и второй столбец соответственно совпадающие (одинаковые), то в такой матрице оба определителя будут равны нулю δ=0, Δ=0.

Согласитесь, используя данные правила, можно значительно меньше времени проводить за математическими расчетами, уделяя больше времени, например, отдыху и играм с детьми.

Остается составить таблицу всех вариантов, а точнее, типов мышления, которые ради удобства мы будем именовать следующим образом:

тип «точка и мнимые прямые» – это «разрушитель», «мечтатель»;

тип «точка и действительные прямые» – это «революционер» (обновляющий);

параболический тип мышления – это «ищущий новое»;

эллиптический тип мышления – это «создающий свой мир»;

гиперболический тип мышления – это «копирующий» готовые модели;

тип «параллельные прямые» – это «наводящий порядок» в мире.

Таблица 1. Определение типов мышления

Одного взгляда на таблицу достаточно, чтобы понять: мы можем определить каждый тип, для этого достаточно иметь матрицу и значения определителей.