Банеш Хофман - Альберт Эйнштейн. ТВОРЕЦ И БУНТАРЬ.

Тензорные уравнения были именно тем, что искал Эйнштейн: они не отдавали предпочтения какой-либо системе координат. На их основе и с помощью Гроссмана он мог теперь осуществить свой «план кампании» и дать математическое представление гравитации. Эйнштейн начал с определения прямых мировых линий в пространстве — времени. Еще до этого, отмечая математические эффекты, сопровождающие переход в Aclab, он пришел к выводу, что скорость света не постоянна, а связана с гравитацией. Теперь же Эйнштейн получил соответствующие уравнения для свободных частиц при переменной с, а это и была, пусть в примитивной форме, та гравитационная теория, к которой он стремился. А затем, перейдя к искаженным координатам весьма общего вида, он пришел непосредственно к тензору, имеющему большое геометрическое значение, — так называемому метрическому тензору. 　

Роль, которую играет этот тензор, может быть показана на простом примере. На двумерной гладкой поверхности океана мы обычно определяем местоположение с помощью координат, которые называются широтой и долготой. Представим себе, что какая-то лодка отправляется в небольшое путешествие, и предположим, что нам известны широта и долгота начального и конечного пунктов. Если лодка плывет по кратчайшему маршруту, мы можем, решив простую алгебраическую задачу, непосредственно вычислить фактическое расстояние, пройденное лодкой по поверхности океана. Ничто не мешает нам это сделать, несмотря на то что ни изменение долготы, ни изменение широты сами по себе не являются расстоянием. Обратить эти небольшие, связанные между собой изменения координат непосредственно в пройденное расстояние помогает метрический тензор, относящийся к двумерной поверхности. В 1827 г., задолго до возникновения идеи тензоров, великий немецкий математик К. Гаусс показал, что этот метрический тензор несет более глубокую геометрическую информацию. С помощью достаточно сложной математической операции можно в данном случае узнать, что мы находимся на поверхности, изогнутой как участок сферы, а не искривленной, скажем, в форме седла, и не плоской, как равнина. И что особенно важно, это можно узнать, не выходя за пределы поверхности, оставаясь внутри нее.　

Если интуиция Эйнштейна не ввела его в заблуждение и если все еще не проверенный принцип эквивалентности действительно заслуживает доверия, то метрический тензор четырехмерного пространства — времени, связывающий между собой координаты и измерения, должен был бы описывать гравитацию. Из этого следует глубокий вывод о том, что гравитация, очевидно, имеет существенно геометрическую природу.

С учетом новой роли, которую стал играть в теории гравитации метрический тензор, Эйнштейн и Гроссман обозначили его буквой g [24] Начальная буква слова gravity — «гравитация». — Прим. перед. , а поскольку в тензорном исчислении требовалось, чтобы тензор имел два нижних индекса, они записали его в виде g μν . Приняв решение использовать g μν для представления гравитации, Эйнштейн сделал гигантский шаг вперед. Ведь, как мы помним, ньютоновская теория гравитации могла быть выражена одним-единственным уравнением поля для одного-единственного гравитационного потенциала. А вот тензорная запись очень компактна, так что в четырехмерном пространстве — времени безобидный на первый взгляд символ g μν замещает десять математических величин. Впечатляющий скачок от одного гравитационного потенциала сразу к десяти был в высшей степени дерзким поступком. Решившись на него, Эйнштейн сам себя поставил перед новой сложной задачей: найти соответственно десять гравитационных уравнений поля.

В 1913 г. Эйнштейн и Гроссман опубликовали статью о своих исследованиях, которая была своего рода вызовом здравому смыслу. Физическая часть была написана Эйнштейном, математическая — Гроссманом. В 1914 г. последовала еще одна их совместная работа. Рассматривая эти статьи в ретроспективе, поражаешься тому, насколько близки были их авторы к достижению своей цели. В их распоряжении уже были практически все необходимые математические ингредиенты, — и, как позднее отмечал Эйнштейн, единственным результатом их работы над конкретными уравнениями поля был отказ от этих уравнений на основании доводов, представлявшихся им в ту пору неопровержимыми. В самом деле, поскольку Эйнштейну еще не удалось тогда разрешить чрезвычайно сложные проблемы физической интерпретации, он считал доказанным, что равенство всех систем координат противоречило бы идее причинности. В кульминационной части своей первой статьи Эйнштейн и Гроссман идут на существенное отступление эстетического характера: они даже не допускают изменений координат, которые могли бы считаться связанными с ускорением. Это не давало им покоя, и во второй статье они постарались отчасти исправить положение, но тем не менее их уравнения все еще не отвечали принципу общей ковариантности. Впоследствии Эйнштейн признавался, что от этого принципа он отказался «с тяжелым сердцем».

С отъездом Эйнштейна из Цюриха в Берлин в 1914 г. его совместная работа с Гроссманом практически прекратилась, так и не принеся желаемых результатов. Тем не менее значение этого сотрудничества двух ученых трудно переоценить, ибо Гроссман вооружил Эйнштейна адекватным его целям конкретным математическим аппаратом для продолжения борьбы в Берлине уже в одиночку.

Невозможно рассказать здесь обо всех трудностях, которые пришлось преодолеть Эйнштейну. В течение двух лет он шел по неверному пути, прежде чем разобрался (в числе прочего), что с физической точки зрения нет никаких доводов против равенства всех систем координат и что принцип общей ковариантности в конечном счете не противоречит причинности. После этого дела пошли быстрее, и к 1915 г. Эйнштейну удалось вывести уравнения гравитационного поля, над которыми он так долго бился. Выдвинутая им теория отличалась изумительной простотой и изяществом. Гравитация представлена в ней не силой, а искривлением, внутренне присущим пространству — времени. Небольшие тела — такие, например, как планеты, — движутся вокруг Солнца по орбитам не под действием солнечного притяжения, а потому что в искривленном пространстве — времени вокруг Солнца просто не существует прямых мировых линий. Прямую линию можно определить как кратчайшее расстояние между двумя точками. В искривленном пространстве — времени движение планет было представлено посредством геодезических линий — аналогов кратчайших [25] В силу причудливости пространства — времени с математической точки зрения правильнее было бы сказать здесь не «кратчайшее», а «длиннейшее», но это, с другой стороны, внесло бы в наш рассказ некоторую путаницу. расстояний. Таким образом, движение планет, подобно движению свободных частиц, также подчиняется первому закону Ньютона — закону инерции — в той мере, в какой это возможно в искривленном пространстве — времени. Понять эту мысль нам помогут два рисунка. На одном из них показано на двумерной плоскости нечто вроде трехмерного гравитационного искривления пространства вокруг Солнца, причем кривизна эта для наглядности сильно преувеличена. Из-за этой кривизны планета, находящаяся в точке P и стремящаяся к прямолинейному движению по горизонтали, не сможет его осуществить, а будет двигаться по траектории типа линии PQ . Отсюда становится в какой-то мере понятным, как получилось, что планеты вращаются вокруг Солнца.