Михаил Гаспаров - Собрание сочинений в шести томах. Т. 1: Греция

Если, таким образом, самое беспорядочное на свете – это бесконечность, то что на свете самое упорядоченное, гармоничное, стройное? Единство. Если бы греки вышли против персов действительно «все как один», чтобы строй их был одним исполинским телом, – они победили бы врага немедленно. Единому вообще не нужна упорядоченность частей, потому что в нем нет частей – все однородно. Однородно не только в пространстве, но и во времени: единое не меняется, не крепнет и не слабеет, оно – вечно. Конечно, такого Единства никто никогда не видел, но всякий может его представить. Мы говорим «бог»; а что такое бог? Существо вечное и совершенное в каждой частице. Совершенное – значит «самое лучшее», а самое лучшее может быть только одно; вот это и есть Единство, однородное, вечное и божественное.

Парменид как бы заочно успокаивал плачущего Гераклита. Да, в окружающем нас мире все течет, рождается и умирает, но есть и другой мир, мир мысли, в котором все неизменно и вечно. В здешнем мире Пифагор давно умер, мы его не увидим и не услышим; но мы можем подумать о нем, и он предстает нашей мысли как живой, – это значит, что мы заглянули умственным взором в тот мир, где он вечно жив. Какой же из этих двух миров настоящий и какой ненастоящий? Нам хочется ответить: окружающий нас – настоящий, а мысленный – выдуманный. Парменид отвечал наоборот: мир мысли – настоящий, а мир наших ощущений – ненастоящий. Потому что в человеческом сознании мысль – хозяин, а чувства – ее рабы, которые лишь питают ее: одно – образами зрения, другое – образами слуха и так далее. А кому можно больше доверять, хозяину или рабам? Грек отвечал сразу и твердо: хозяину.

Не спешите смеяться над чудаком Парменидом, который в добавление к окружающему нас миру придумал несуществующий второй. Мы еще увидим, как пересочинит этот его второй мир философ Платон. И тем более не смейтесь над тем, как доказывал Зенон, что движения нет и Ахилл никогда не догонит черепаху. Показать, что это не так, очень легко: шаг, два – и готово. А вот доказать, почему это не так, очень трудно. И философы даже в наши дни порой спорят с Зеноном словно с современником.

«3 в квадрате будет 9», «3 в кубе будет 27». А вы задумывались, почему мы называем число, умноженное само на себя, квадратом, а умноженное само на себя и еще раз на себя – кубом? Потому что так представляли их греки. У них было, если можно так выразиться, зрительное мышление. Недаром в греческом языке «видеть» и «знать» были родственные слова (как в нашем – «видеть» и «ведать»). Оттого и был у греков такой сильный страх перед бесконечностью, что ее никак нельзя вообразить зрительно.

Нарисуйте в вашей тетрадке число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? Очевидно – пририсовать над ним еще одно такое троеточие, а потом еще одно. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. Теперь возьмем три таких квадрата и положим их друг на друга. Получится куб из 27 точек со стороной 3. Вот так видели свои числа древние греки: как выложенные из камешков. Так что, кроме «квадратных» чисел, у них были и «продолговатые», а кроме «кубических» – и другие «объемные». Например, число 6 было продолговатым – как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30 – объемным: параллелепипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5.

(Почему «2 в квадрате – 4» – теперь понятно; но почему «2 – квадратный корень из 4»? Слово «корень» ввели в математику уже не греки, а арабы. Они предпочитали представлять мир не геометрическим, как греки, а органическим; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, вырастает число 4, а потом 8, а потом 16 и все остальные степени.)

При греческом зрительном воображении принято было перестраивать числа из фигуры в фигуру: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6×2, то как короткий и широкий 3х4. Поэтому греки обращали большое внимание на набор делителей числа. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, оно называлось «совершенным». Греки знали четыре таких числа – 6, 28, 496 и 8128. (Если хотите, убедитесь: 6=1+2+3 = 1×2×3.) А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались «дружащими»: например, 220 и 284. (Если хотите, проверьте: 1+2+4+71+142 и 1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110.) Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: «Второй я» – и добавил: «Это как 220 и 284».

Неудобства начинались при обращении с дробями: ведь точку не раздробишь на части. Поэтому греки предпочитали иметь дело не с дробями, а с отношениями: говорили не «одна седьмая часть единицы», а «одна единица от семи». Отношения и пропорции они сортировали с большой любовью. Мы говорим: «Число 20 кратно числу 5», то есть делится на него. А грек мог вдобавок сказать: «Число 20 кратночастно числу 16», то есть делится на разность между ними. Вы знаете: число 4 – это среднее арифметическое чисел 2 и 6, то есть сумма их, деленная пополам. Некоторые, может быть, знают: число 4 – это среднее геометрическое чисел 2 и 8, то есть квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4 – это «среднее гармоническое» чисел 3 и 6, то есть их удвоенное произведение, деленное на их сумму.

Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как:

(a + b) 2= a 2+ 2ab + b 2;

(a – b) 2= a 2 – 2ab + b 2;

a 2 – b 2= (a + b) (a – b).

Вы помните, как они выводились? Это было довольно громоздко. А грек со своей привычкой к наглядности доказывал их не вычислением, а чертежом: чертил отрезок А, отрезок В, строил на них квадраты и показывал: «Вот!» Посмотрите и убедитесь.

Такие геометрические доказательства выручали греков в их страхе перед бесконечностью. Вы смогли бы, например, извлечь точный корень из числа 2? Нет, не смогли бы: получили бы бесконечную дробь. А греческий математик поступал просто: чертил отрезок длиной в данное число, строил вокруг квадрат, в котором он был бы диагональю, показывал на сторону этого квадрата и говорил: «Вот!»

В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются иррациональными. Греки называли их «невыразимые». «Невыразимым» было отношение диагонали и стороны в квадрате – 1,41421…; «невыразимым» было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число «пи» – 3,14159… («пи» – это первая буква греческого слова «периферия», окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в своей борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над «квадратурой круга»: как по данному диаметру круга с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий этому кругу?