Вячеслав Воробьев - 12 тверских математиков

Более глубокое исследование вопроса о предельных погрешностях и распределении фактических погрешностей результатов действий сложения, умножения, возведения в квадрат и в куб и обратных им действий было дано Владимиром Модестовичем в двух теоретических работах: «Умножение приближенных чисел» в 1925 г. и «Опыт обоснования некоторых практических правил действия над приближенными числами» в 1927 г. Они вполне подтвердили целесообразность правил подсчёта цифр, сформулированных в 1923 г.

Две последние работы представляют собой результат основного исследования В.М. Брадиса, явившийся итогом большого труда. В последней статье на основе теоретико-вероятностных методов даётся обоснование правилам численных расчётов с приближенными данными при нестрогом учёте погрешностей, ранее интуитивно полученных различными вычислителями, в частности А.Н. Крыловым. На основе проделанной работы формулируется принцип записи результатов действий в предположении, что погрешность каждого приближенного компонента не превосходит полуединицы разряда последней его цифры, и что все значения этой погрешности равновероятны. Этот принцип состоит в следующем: приближенное число надо писать так, чтобы в нём все значащие цифры кроме последней были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительной, и притом «в среднем», не более как на одну единицу. Доказано, что чем больше погрешность, тем меньше вероятность её появления. Термин «в среднем» понимается в том смысле, что речь здесь идёт не о границах погрешности, а о средней квадратической погрешности, т.е. о корне квадратном из среднего значения квадрата погрешности. В формулировке принципа записи результата действий над приближенными данными, предложенной академиком A.Н. Крыловым, отсутствует термин «в среднем». В.М. Брадис доказал, что необходима указанная выше поправка. А.Н. Крылов приветствовал это исследование Владимира Модестовича.

Обосновав правила подсчёта цифр, уверенный в их целесообразности и приемлемости для школьных вычислений, B.М. Брадис не считает свою работу завершённой и приступает к пропаганде правил. Учёный систематически, с изумительной настойчивостью, присущей ему, и убеждённостью в необходимости этого дела выступает с докладами, пишет статьи и учебники для студентов педагогических институтов, книги для учителей, учебники и пособия для учащихся средних школ. Он публикует свои работы в Москве, Ленинграде, Калинине, Казани. Его исследования и выводы, методические рекомендации помещены в журналах «Математика в школе», «Просвещение», в методических сборниках, в «Известиях» и «Учёных записках» институтов, в «Научных трудах» математических кафедр, в БСЭ, в «Энциклопедии элементарной математики» и в других изданиях. В учебнике «Четырёхзначные математические таблицы» для учащихся средней школы, начиная с 3-го издания в 1930 г., содержится текст восьми правил подсчёта цифр. Этот учебник получил очень широкое распространение, а вместе с ним — и правила подсчёта цифр. Он издан во многих советских республиках, в некоторых странах народной демократии и в капиталистических странах, например в Японии. Пропагандируя правила подсчёта цифр как основные для школьных вычислений, В.М. Брадис всегда подчеркивал, что последняя цифра получаемых при их применении результатов может иметь погрешность довольно значительную, но вероятность больших значений погрешности мала: чем больше погрешность, тем реже она встречается. Если по характеру вопроса такая неопределённость недопустима, то надо провести вычисление по способу границ. Способ границ впервые рассмотрен в научной литературе В.М. Брадисом. Он не требует теоретического обоснования и в силу простоты доступен учащимся. Учительство, получив убедительное разъяснение смысла способа границ, выполненное авторитетным учёным, теперь может его применять, не сомневаясь в научности метода.

Правила подсчёта цифр, предложенные В.М. Брадисом в 1923 г., встретили лестную оценку со стороны ГУУЗа, и в 1927 г. были включены в программу математики для школ 2-й ступени. Через некоторое время они были изъяты, так как преподаватели не имели соответствующей подготовки.

В 1960 г. вновь в программу школьной математики включена тема «Приближенные вычисления», отдельные вопросы которой рассматриваются начиная с 5-го класса. Тем самым пришло признание необходимости и полезности огромного труда В.М. Брадиса.

Правила подсчёта цифр Брадиса в 30-е гг. получили одобрение со стороны астронома М.Ф. Субботина, академика В.И. Романовского — специалиста по теории вероятностей и математической статистике, профессора Ленинградского электротехнического института А.Ф. Гаврилова, академика А.Н. Крылова и др. Постепенно растёт признание правил подсчёта цифр: они применяются не только в области теоретических расчётов, но проникают в различные отрасли. Это обстоятельство подчёркивает большое практическое значение научно-исследовательских работ, проводимых В.М. Брадисом в области совершенствования численных расчетов.

Следует отметить, что далеко ещё не все, имеющие отношение к преподаванию математики, ясно понимают вероятностный смысл правил Брадиса. Следствием этого являются многие недоразумения, возникающие в процессе изучения теории приближенных вычислений в школе. Дискуссия по этому вопросу, проведённая журналом «Математика в школе» в 1964 г., показала, что есть преподаватели-математики, предъявляющие к правилам подсчёта цифр такие требования, на которые эти правила не рассчитаны, и от которых В.М. Брадис предостерегает.

В работах указанного направления В.М. Брадис уделяет большое внимание вычислительной схеме. Так называется разметка приготовленного для записи листа бумаги, при которой каждое входящее в вычисление число записывается в особом, заранее для него отведённом месте. Выгода схемы заключается в механизации вычислительного процесса. Хорошо составив схему, вычислитель в дальнейшем освобождается от всякой работы по обдумыванию хода вычислений. Вторая выгода схемы — лёгкость контроля произведённого вычисления, как самим вычислителем, так и другими лицами.

Помимо механизации работы вычислителя путём составления схем В.М, Брадис рекомендует применять вспомогательные средства вычислений, что даёт экономию времени, снижает утомляемость человека, гарантирует уменьшение числа ошибок. Среди них особые приёмы устного и письменного выполнения действий, простейшие приборы и машины — счёты, арифмометр.

Особое место среди вспомогательных средств вычисления занимают математические таблицы, роль которых усиливается с переходом к политехническому обучению. Если в средней школе до недавнего времени широко использовались только таблицы логарифмические и логарифмо-тригонометрические, то теперь применяются таблицы квадратов, длины окружности, площади круга, которые используются в 6—8-х классах при решении задач на вычисление длины окружности и площади круга по его радиусу, на вычисление поверхности и объёма цилиндра и конуса. Основные сведения о математических таблицах рассмотрены В.М. Брадисом в книге «Средства и способы элементарных вычислений».