Дэвид Шпигельхалтер - Искусство статистики. Как находить ответы в данных

Ценность каждого из фактов-доказательств можно выразить через их отношения правдоподобия, которые в данном случае определяются как

отношение правдоподобия = вероятность факта при условии, что это скелет Ричарда III / вероятность факта при условии, что это скелет НЕ Ричарда III.

В табл. 11.1 показаны отдельные отношения правдоподобия для каждого из фактов-доказательств, при этом исследователи были осторожны и намеренно занижали оценки в сторону наименьших отношений правдоподобия, то есть не в пользу того, что это скелет Ричарда III. Но если мы предположим независимость всех результатов, это даст нам право перемножить все эти отношения и получить общую оценку силы всех фактов-доказательств: значение достигнет 6,5 миллиона, что означает «крайне сильное подтверждение». Словесные формулировки, приведенные в табл. 11.1, взяты из шкалы, рекомендованной для использования в суде (см. табл. 11.2) [220].

Таблица 11.1

Отношения правдоподобия для отдельных фактов-доказательств в отношении скелета, найденного в Лестере. Сравниваются гипотезы, это скелет Ричарда III или нет. Объединенное отношение правдоподобия получается путем перемножения отдельных отношений правдоподобия и достигает 6,5 миллиона

Таблица 11.2

Рекомендуемые словесные интерпретации для отношений правдоподобия при предоставлении результатов криминалистической экспертизы в суде

Насколько убедительны эти доказательства? Вспомните, что, прежде чем перейти к вычислениям отношений правдоподобия, мы сделали консервативную оценку 1/400, что это скелет Ричарда III. Это соответствует примерным начальным шансам 1 к 400. Тогда по теореме Байеса мы получаем для апостериорных шансов число 6,7 миллиона / 400 = 16 750. Таким образом, даже будучи предельно осторожными с оценкой априорных шансов и отношения правдоподобия, мы можем сказать, что шансы на то, что это скелет короля Ричарда, составляют примерно 16 750 против 1.

Поскольку исследователи брали число 40, а не 400, то полученные ими шансы составили примерно 167 000 против 1, то есть они нашли Ричарда III с вероятностью 0,999994. Это было сочтено достаточным доказательством для торжественного перезахоронения скелета в соборе Лестера.

В судебных делах отношения правдоподобия обычно прилагаются к данным ДНК при обнаружении какой-то степени «совпадения» между ДНК подозреваемого и следами, найденными на месте преступления. Две конкурирующие гипотезы в этом случае таковы: следы ДНК оставил подозреваемый либо это сделал кто-то другой. Следовательно, отношение правдоподобия можно записать так:

отношение правдоподобия = вероятность совпадения ДНК при условии, что следы оставил подозреваемый / вероятность совпадения ДНК при условии, что следы оставил кто-то другой.

Число в числителе обычно принимается равным 1, а в знаменателе считается вероятностью того, что случайно выбранный из совокупности человек обеспечит случайное совпадение ДНК, – это называется вероятностью случайного совпадения. Типичные отношения правдоподобия для подтверждений по ДНК могут составлять миллионы и миллиарды, хотя точные величины можно оспаривать, например в случае затруднений из-за наличия в следах ДНК нескольких разных людей.

В британских судах разрешены отдельные отношения правдоподобия, но их нельзя перемножать, как в случае с Ричардом III, поскольку считается, что процедура объединения отдельных доказательств возложена на жюри присяжных [221]. Юридическая система, по-видимому, еще не готова принять научную логику.

Жульничает ли архиепископ Кентерберийский при игре в покер?

Мало кто знает, что известный экономист Джон Кейнс, изучая теорию вероятностей, придумал мысленный эксперимент, демонстрирующий важность учета начальных шансов при оценке последствий. В этом упражнении он просил представить, что вы играете в покер с архиепископом Кентерберийским, который в первом круге сдает себе роял-флеш [222]. Следует ли нам подозревать его в жульничестве?

Отношение правдоподобия для этого события равно:

отношение правдоподобия = вероятность комбинации роял-флеш при условии, что архиепископ жульничает / вероятность комбинации роял-флеш при условии, что архиепископу просто повезло.

Будем считать, что числитель равен единице, а вероятность в знаменателе можно вычислить как 1 / 72 000 [223]. Тогда отношение правдоподобия составит 72 000, что, согласно стандартам из табл. 11.2, означает «очень сильное подтверждение», что архиепископ жульничает. Но должны ли мы делать этот вывод? Как говорит теорема Байеса, апостериорные шансы равны произведению отношения правдоподобия на априорные шансы. Кажется разумным предположить, что (по крайней мере, пока мы не начали играть) шансы на то, что архиепископ не жульничает, крайне высоки, возможно, миллион против 1, учитывая его высокий духовный сан [224]. Поэтому произведение таких шансов и отношения правдоподобия даст нам 72 000 / 1 000 000, то есть примерно 7 к 100, что соответствует вероятности 7/107, или 7 %, что он жульничает. Таким образом, на этом этапе мы можем себе позволить дать ему кредит доверия (чего не сделали бы по отношению к человеку, с которым, скажем, только что столкнулись в пабе). И, возможно, нам надо держать ухо востро во время игры с архиепископом!

Байесовские статистические выводы

Теорема Байеса, даже если она и не разрешена в британских судах, – это научно корректный способ менять наше мнение на основании новых фактов. Ожидаемые количества делают байесовский анализ достаточно простым для несложных ситуаций, где есть всего две гипотезы, например, заболел человек или не заболел, совершил преступление или не совершил. Однако все усложняется, когда мы хотим применить эти же идеи к выводам относительно неизвестных величин, которые могут принимать целый диапазон значений, таких как параметры в статистических моделях.

Оригинальная работа преподобного Томаса Байеса, опубликованная в 1763 году, давала ответ на один очень простой вопрос: если известно, что нечто произошло или не произошло определенное количество раз, то какова вероятность, что это произойдет в следующий раз? [225]Например, если канцелярскую кнопку подбросили 20 раз и она 15 раз упала острием вверх, а 5 раз – острием вниз, то чему равна вероятность ее падения острием вверх в следующий раз? Возможно, вы подумаете, что ответ очевиден: 15 / 20 = 75 %. Однако ответ преподобного был бы другим – 16 / 22 (73 %). Как бы он к нему пришел?