Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Разумеется, созывать каждый раз консилиум экспертов для определения "коэффициентов принадлежности" вряд ли целесообразно. Чаще коэффициенты вводят иным путем, например на основе статистических данных. Но после того, как они выбраны, с их помощью можно получить коэффициенты принадлежности и для других множеств.

На основе понятия нечеткого множества были введены нечеткие отношения и нечеткие алгоритмы. С нечеткими алгоритмами люди имели дело задолго до того, как их определил Л. Заде. В любой поваренной книге найдутся алгоритмы, содержащие советы вида: "Сливки сперва особо взбить, чтобы были весьма густы, потом всыпать в них муку и еще все вместе венчиком хорошенько взбить...". И хотя авторы этих книг не определяли точно, когда сливки надо считать весьма густыми и какое взбивание венчиком надо считать достаточным, надо думать, что блюда по этим рецептам получались совсем неплохими. Любопытно, что теперь нечеткие алгоритмы начали встречаться и в таких разделах науки, как вычислительная математика. Однако только будущее покажет, был ли удачен предложенный Заде метод введения нечетких множеств и какая из него получится польза.

Все то, что говорилось о множествах выше, относилось в основном к множествам, содержащим конечное число элементов. На протяжении тысячелетий изучение бесконечных множеств было изгнано из науки авторитетом Аристотеля. Впрочем, преподававший в Оксфордском университете в XIII в. схоласт Роберт Гроссетет (он был, между прочим, учителем знаменитого Роджера Бэкона) считал, что актуально-бесконечное — это определенное число, которое хотя и не познаваемо для нас, но существует актуально. Более того, Гроссетет считал возможным сравнивать друг с другом две бесконечности. Он полагал, что больше моментов в большем времени, чем в меньшем, и больше точек в большей величине, чем в меньшей. Число "точек в отрезке длиной в локоть" он считал истинной мерой этого отрезка. Тем самым потенциальной бесконечности Аристотеля снова была противопоставлена актуальная бесконечность единиц.

Использование актуальной бесконечности в математике исподволь начинается в XVIII в. (бесконечные ряды фактически рассматривались как суммы бесконечного множества слагаемых), а в XIX в. Гаусс, столь резко возражавший против использования актуальной бесконечности в математике, фактически использует ее в своих теоретико-числовых исследованиях. В более явном виде использование этих же понятий встречается в работах последователей Гаусса немецких математиков Л. Дирихле [44] Дирихле Лежен (1805-1859) — немецкий математик, автор работ по теории чисел, математической физике, теории рядов. и Р. Дедекинда [45] Дедекинд Рихард (1831-1916) — немецкий математик, один из создателей современной алгебры. В своих работах близко подошел к идеям теории множеств. .

Однако систематически свойства бесконечных множеств почти не изучались. Лишь в 1851 г. была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано [46] Больцано Бернард (1781-1848) — чешский математик, философ и логик, автор ряда работ по основам математического анализа и теории бесконечных множеств. "Парадоксы бесконечности", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности. В этой книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.

Занимаясь теорией бесконечных рядов, составленных из тригонометрических функций, Кантор пришел к необходимости разобраться в том, какие множества можно составлять из точек прямой линии (эти множества называют теперь точечными ). В частности, его заинтересовал вопрос, всегда ли можно перенумеровать все точки таких множеств. Исследуя его, он обнаружил, что свойства конечных и бесконечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие операции, невозможные для конечных множеств, без труда выполняются для бесконечных. Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще жильцов, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек. Не получается? Так это только потому, что число номеров в гостинице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров?.. Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах межзвездного скитальца Иона Тихого. Итак, предоставим ему слово.

Домой я вернулся довольно поздно — вечер воспоминаний в клубе "Туманность Андромеды" затянулся далеко за полночь. Всю ночь меня мучили кошмары. То мне снилось, что меня проглотил огромный курдль, то грезилось, что я снова лечу на планету Дурдиотов и не знаю, как избежать тамошней страшной машины, превращающей людей в шестиугольники, то... Неожиданный телефонный звонок вернул меня в мир реальности. Звонил старый друг и коллега по межзвездным странствиям профессор Тарантога.

"Срочное задание, дорогой Йон,- услышал я.- Астрономы обнаружили в космосе какой-то странный объект — от одной галактики до другой тянется таинственная черная линия. Никто не понимает, в чем дело. Самые лучшие радиотелескопы, нейтриноскопы и гравитоскопы пе могут помочь в раскрытии тайны. Осталась надежда лишь на тебя. Срочно вылетай в направлении туманности АЦД-1587".

На другой день я получил из ремонта свою старую фотонную ракету, установил на нее ускоритель времени и электронного робота, знавшего все языки космоса и все рассказы о звездопроходцах (это гарантировало от скуки), и вылетел по заданию.

Когда робот исчерпал весь свой запас рассказов и начал повторяться (нет ничего хуже, чем электронный робот, десятый раз повторяющий старую историю), вдали показалась цель моего путешествия. Туманности, застилавшие таинственную линию, оказались позади, и предо мною предстала... гостиница "Космос".

Выяснилось, что межзвездные скитальцы выгонты, которым я когда-то соорудил небольшую планету, растащили и ее на мелкие части и вновь остались без пристанища. Тогда, чтобы больше не скитаться по чужим галактикам, они решили построить грандиозное сооружение — гостиницу для всех путешествующих по космосу. Эта гостиница протянулась через почти все галактики. Говорю "почти все", потому что выгонты демонтировали некоторые необитаемые галактики, а из каждой оставшейся утащили по нескольку плохо лежавших созвездий.

Но гостиницу они отстроили на славу. В каждом номере были краны, из которых текла холодная и горячая плазма. При желании можно было на ночь распылиться, а утром портье собирал постояльцев по их атомным схемам.